デルトイドは１９世紀の幾何学者シュタイナーがシムソン線の包絡線として研究した図形で，シムソン線というのは三角形の外接円上の任意の１点から３辺に下ろした垂線の足を結ぶ直線のことです．

　（その１５）に掲げた「２円定理」により，半径２ｒの円が半径Ｒ＝３ｒの円の内側を転がるとき，円上の固定された直径の描く包絡線はデルトイドになるわけですが，デルトイドの場合，この直径の両端も同じデルトイド上にあります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】デルトイドの幾何学

　これにより「デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定である」という性質が生じます．これはデルトイドでは長さ４ｒの棒をデルトイドに接しながら１回転することができるというのと同一です．そして，この事実により掛谷はデルトイドが「掛谷の問題」の解であると予想したのです．

　冒頭に述べたことより，デルトイドでは半径２ｒの円上の定点の軌跡としても与えられますし，また，円周上を反時計回りと時計回りに動く２点Ｐ，Ｑがあり，点Ｐは点Ｑの２倍の速さで動くとき，直線ＰＱの包絡線もデルトイドになります．

　デルトイドについて，これまで同じ曲線を描くために異なる定義があるのをみてきましたが，他のハイポサイクロイド，エピサイクロイドについてもみてみましょう．すると

(1)半径３ｒの円が半径Ｒ＝４ｒの円の内側を転がるとき，円上の固定された正三角形の頂点の描く軌跡はアステロイドになる．

(2)半径３ｒの円が半径Ｒ＝２ｒの円の外側を転がるとき，円上の固定された正三角形の頂点の描く軌跡はネフロイドになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】シムソン線とデルトイド

　シムソン線というのは三角形の外接円上の任意の１点から３辺（またはその延長線）に下ろした垂線の足を結ぶ直線のことで，垂線の足は一直線上に並ぶところが面白いところです．初めてデルトイド（三星形）の研究を行ったのはオイラー（１７４５年）ですが，１９世紀の数学者シュタイナーがシムソン線の包絡線として研究したところから，デルトイドはシュタイナーのハイポサイクロイドとも呼ばれています．

　デルトイドがもつ性質のひとつは外接円さえ同じであれば，三角形の形に関係なく，同じ形のデルトイドが得られるということです．もう一つの性質はデルトイドで両端を仕切ったシムソン線の長さは一定で，その値は転円の半径をｒ（すなわち定円の半径を３ｒ）とすると，４ｒになります．

　三角形の各辺の中点，垂線の足，垂心と各頂点を結ぶ線分の中点の９点は同じ円上にあります（フォイエルバッハの９点円）．三角形の９点円Ｑと同心で，半径がその３倍の定円Ｑ’を導線として，Ｑを通るシムソン線（３本ある）がＱ’と交わる点Ｓにおいて，最初Ｑ’に接していた９点円と同大の円をＱ’の内側をころがすとき，最初Ｓにあった点の描く軌跡がこのデルトイドです．この結果はシュタイナーが初等幾何学的に示しました．

　シムソン線は９点円を内接円にもつように描かれたデルトイドに接するというわけです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝