フーコーの振り子を何万回も振らせたときの形とはどのようなものになるか？

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【１】ガウス・ボンネの定理（球面上の平行移動）

　テニスボールは表面に閉曲線が刻み込まれている．この閉曲線上の点が常に床に接触するようにテニスボールを転がすとボールは垂直軸に沿って回転する．このとき回転角はどれだけになるだろうか？

　ガウス・ボンネの定理により，曲線に囲まれた全曲率がその答えである．テニスボールの場合，この曲線は対称で，全曲率４πのちょうど半分２πを囲んでいるので，回転角は２π−２π＝０となる．

　フーコーの振り子の運動面は北極では１日あたり３６０°，赤道上では０°である（回転しない）．緯度をφとすると，球帽の全曲率は２π（１−ｓｉｎφ）であるから，この軌跡の全曲率は

　　２π−２π（１−ｓｉｎφ）＝２πｓｉｎφ

で，これが振り子の運動面の全回転になる．パリ（φ＝４８°）では振り子は１時間当たり１１°回転することになる．

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【２】振り子の等時性

　ガリレオ・ガリレイは１６世紀の終わりにピサの斜塔で有名な落体の実験を試みましたが，さらに大聖堂のシャンデリアの動きから振子の等時性を発見しています．

　糸の長さｌに質量ｍの錘のついた振り子の運動方程式は，

　　ｍｌｄθ^2／ｄ^2ｔ＝−ｍｇｓｉｎθ

で表されますが，

　　ｓｉｎθ＝θ−１／３！θ^3＋１／５！θ^5−・・・

より，小さな振幅に限るとｓｉｎθ≒θとしてよいので

　　ｍｌｄθ^2／ｄ^2ｔ＝−ｍｇθ

となります．この方程式は線形なので解くことができ，周期

　　Ｔ＝２π√ｌ／ｇ≒２√ｌ

が得られます．したがって，周期はｌ＝２５ｃｍで約１秒，ｌ＝１ｍで約２秒となり，振幅には拠りません．

　これが有名な「振り子の等時性」ですが，この現象は振幅が小さい場合に限って成立します．

　フーコーの振り子はパリのパンテオンのドームから吊り下げられた長さ６７ｍ，重さ２８ｋｇの振り子であったので，その周期はおとそ１６秒．パリ（φ＝４８°）では振り子は１時間当たり１１°回転しますから，この間，２２５回振られた形になるわけです．

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