ボンベリは，カルダノによる３次方程式の解法を

　　ｘ^3－１５ｘ－４＝０

に適用すると

　　４＝3√（２＋１１ｉ）＋3√（２－１１ｉ）

という実数＝複素数？という奇妙な関係式が成り立つことに気づいた．（カルダノは実数解しか考えなかった）

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　実は

　（２＋ｉ）^3＝２＋１１ｉ，（２－ｉ）^3＝２－１１ｉ

という簡単な関係式が成り立つので，３乗根を外せば

　　４＝（２＋ｉ）＋（２－ｉ）

が成り立つのである．

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　３次方程式：ｘ^3＝ｐｘ＋ｑの解は

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ

　　Ａ＝ｑ／２＋√（（ｑ／２）^2－（ｐ／３）^3）

　　Ｂ＝ｑ／２－√（（ｑ／２）^2－（ｐ／３）^3）

で与えられる．

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　ｘ^3＝１５ｘ＋４の場合，

　　Ａ＝２＋√（２^2－５^3）＝２＋√（－１２１）＝２＋１１ｉ

　　Ｂ＝２－√（２^2－５^3）＝２－√（－１２１）＝２－１１ｉ

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ＝3√（２＋１１ｉ）－3√（２－１１ｉ）

となる．

　この方程式は明らかにｘ＝４を根にもっているのだが，どうなっているのだろうか？

　実は

　　（２＋１１ｉ）＝（２＋ｉ）^3，（２－１１ｉ）＝（２－ｉ）^3

より，

　　ｘ＝（２＋ｉ）＋（２－ｉ）＝４

となるのである．

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（ａ＋ｂｉ）^2＝（ａ^2－ｂ^2）＋２ａｂｉ

（ａ＋ｂｉ）^3

＝ａ^3＋３ａ^2ｂｉ－３ａｂ^2－ｂ^3ｉ

＝（ａ^3－３ａｂ^2）＋（３ａ^2ｂ－ｂ^3）ｉ

＝ａ（ａ^2－３ｂ^2）＋ｂ（３ａ^2－ｂ^2）ｉ

（２＋１１ｉ）→ａ（ａ^2－３ｂ^2）＝２，ｂ（３ａ^2－ｂ^2）＝１１

ａ＝±１とすると，（１－３ｂ^2）＝±２→ｂ＝１→ｂ（３－ｂ^2）＝１１　　（ＮＧ）

ａ＝±２とすると，（４－３ｂ^2）＝±１→ｂ＝±１のみを考える

→ｂ＝±１→ｂ（１２－ｂ^2）＝１１→ｂ＝１　　（ＯＫ）

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