ｘ^y−ｙ^xについて，

　　４^2−２^4＝０　　（唯一）

　　３^2−２^3＝１　　（唯一）

であることが示されている．すなわち，

　ｘ^m−ｙ^n＝１は（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）＝（３，２，２，３）以外には解をもたない．

　ｘ^y　　（ｘ≧２，ｙ≧２）の形で表される数を完全ベキ乗数と呼ぶことにする．

　　｛ａn｝＝｛１，４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

　　３^3−５^2＝２

のように差が２となる完全ベキ乗数はどれだけあるのだろうか？

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　ｘ^y　　（ｘ≧２，ｙ≧２）を１０００までの範囲で探してみると

２：４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２

３：９，２７，８１，２４３，７２９

５：２５，１２５，６２５

６：３６，１９６

７：４９，３４３

１０：１００

１１：１２１

１２：１４４

１３：１６９

１４：１９６

となるが，

　　３^2−２^3＝１

　　３^3−５^2＝２

　　２^7−５^3＝３

　　６^2−２^5＝４，５^3−１１^2＝４

以外には見つからない．

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