２５は平方数で２７は立方数である．言い換えれば，２６から１をひくと２５（平方数）であり，２６に１を加えると２７（立方数）である．このように平方数と立方数に挟まれる数は他にはないというのが，

　　ｙ^3＝ｘ^2＋２

の正整数による唯一の解は（ｘ，ｙ）＝（５，３）であるというフェルマーの主張であった．

　これを仮想的な整数を導入して，以下のような証明を与えたのはオイラーである．

（証）ｘ^2＋２＝（ｘ＋ｉ√２）（ｘ－ｉ√２）

（ｘ＋ｉ√２）＝（ａ＋ｂｉ√２）^3

＝ａ^3＋３ａ^2ｂｉ√２－６ａｂ^2－２ｂ^3ｉ√２

＝（ａ^3－６ａｂ^2）＋（３ａ^2ｂ－２ｂ^3）ｉ√２

＝ａ（ａ^2－６ｂ^2）＋ｂ（３ａ^2－２ｂ^2）ｉ√２

（ｘ＋ｉ√２）→ａ（ａ^2－６ｂ^2）＝ｘ，ｂ（３ａ^2－２ｂ^2）＝１

ｂ＝±１とすると，（３ａ^2－２）＝±１→ｂ＝１のときａ＝±１

（１，１）→ａ（ａ^2－６ｂ^2）＝－５＝ｘ　　　（ＮＧ）

（－１，１）→－ａ（ａ^2－６ｂ^2）＝５＝ｘ　　（ＯＫ）

さらにｙ＝３．よって，フェルマーの主張が示された．

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　整数解を求めるもうひとつの有名な不定方程式（ペル方程式）は

　　ｘ^2－２ｙ^2＝１

である（オイラーが間違ってつけたこの方程式の名前はそのまま定着してしまった）．

　ｘ，ｙが十分大きな整数のとき，

　　ｘ／ｙ→√２

すなわち，√２の近似有理数となる．また，（ｘ，ｙ）＝（３，２）は正整数による唯一の解ではないが，最小の正整数による解である．

　　３^2－２・２^2＝１

　　（３＋２√２）（３－２√２）＝１

　　（３＋２√２）^n（３－２√２）^n＝１

より，

　　ｘn＋ｙn√２＝（３＋２√２）^n

を満たす正整数（ｘn，ｙn）が定まる．たとえば，（ｘ2，ｙ2）＝（１７，１２）

　すると帰納法的に

　　ｘn+1＋ｙn+1√２＝（３＋２√２）^n+1＝（３＋２√２）^n（３＋２√２）

＝（ｘn＋ｙn√２）（３＋２√２）

＝（３ｘn＋４ｙn）＋（２ｘn＋３ｙn）√２

　　ｘn+1＝３ｘn＋４ｙn

　　ｙn+1＝２ｘn＋３ｙn

（ｘn+1）^2－２（ｙn+1）^2＝（３ｘn＋４ｙn）^2－２（２ｘn＋３ｙn）^2

＝（ｘn）^2－２（ｙn）^2＝１

となって，（ｘn+1，ｙn+1）の解であることがわかる．

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　　ｘ^2－３ｙ^2＝１

の場合も同様で，ｘ／ｙ→√３，また，（ｘ，ｙ）＝（２，１）

　　２^2－３・１^2＝１

　　（２＋√３）（２－√３）＝１

　　（２＋√３）^n（２－√３）^n＝１

より，

　　ｘn＋ｙn√３＝（２＋√３）^n

を満たす正整数（ｘn，ｙn）が定まる．たとえば，（ｘ2，ｙ2）＝（７，４）

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