天体力学において，２つの物体まではニュートン力学によって解析的な計算を行うことができ，互いに引力を及ぼしあっている二つの物体は楕円，放物線，双曲線のうちのいずれかの軌道になることが証明されています．

　例えば，地球から打ち上げた人工衛星の初速が秒速７．９ｋｍ（第１宇宙速度）のとき円，それ以上で秒速１１．２ｋｍ（第２宇宙速度）以下のとき地球を焦点とする楕円，秒速１１．２ｋｍのとき放物線，それより速いときは双曲線を描くといった具合です．放物線軌道，双曲線軌道になると地球の重力圏を脱出し，もう地球に戻ってくることはありません．このように，人工衛星の運動ではニュートン力学は実にうまくあい，相対性理論を使う必要はまずありません．

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【１】第１宇宙速度

（Ｑ）円：ｘ^2＋（ｙ−ｒ）^2＝ｒ^2と放物線：ｙ＝ａｘ^2が原点のみで接するためのａの存在範囲は？

（Ａ）ｘを消去すると

　　ｙ／ａ−ｙ^2−２ｒｙ＝０　→　ｙ＝０，ｙ＝２ｒ−１／ａ

原点のみで接するためにはｙ＝２ｒ−１／ａ≦０

よって，０＜ａ≦１／２ｒ

　地球の半径をＲ＝６４００ｋｍ，重力加速度をｇ＝１０ｍ／ｓ^2とすると

　　ｘ＝ｖｔ，ｙ＝ｇｔ^2／２　→　ｙ＝ｇｘ^2／２ｖ^2，ａ＝ｇ／２ｖ^2

０＜ａ≦１／２Ｒに代入すると，人工衛星は地球の引力圏から脱出可能な打ち上げ時の初速は

　　ｖ≧√ｇＲ＝８ｋｍ／ｓ

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【２】第２宇宙速度

　万有引力定数をＧ，地球の質量をＭ，人工衛星の質量をｍとすると，地球が人工衛星に及ぼす引力は

　　Ｆ＝ＧＭｍ／Ｒ^2＝ｍｇ　→　ＧＭ／Ｒ＝ｇＲ

　また，無限遠を基準とする位置エネルギーは

　　Ｕ＝−ＧＭｍ／Ｒ

運動エネルギーはＫ＝ｍｖ^2／２であるが，Ｋ＋Ｕ＜０でないと，人工衛星はいったん打ち上げたが最後，地球に戻ってくることができなくなってしまう．

　　ｍｖ^2／２−ＧＭｍ／Ｒ＜０

　　ｖ＜√２ｇＭ／Ｒ＝√２ｇＲ＝１１ｋｍ／ｓ

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