［Ｑ１］ケプラーの３法則をもとにして力学を確立したのがニュートンですが，ニュートンの法則からケプラーの第２法則を導け（ニュートンからケプラーへ）．

［Ａ２］まず，準備としてｘｙ平面の極座標（ｒ，θ）を用いて

　　ｒ＝ｒ（θ）＝ａ／（１＋εｃｏｓθ）　　　（ａ＞０，０＜ε＜１）

で表される曲線は原点を１つの焦点とする楕円で，εはその離心率となります．なぜなら，分母を払ってｒ＋ｒεｃｏｓθ＝ａ．また，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒｃｏｓθ＝ｘであるから

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2−２εａｘ＋ε^2ｘ^2

　　（１−ε^2）（ｘ＋εａ／（１−ε^2））^2＋ｙ^2＝ａ^2／（１−ε^2）

これは楕円の方程式です．

　この楕円は

　　ｒ（θ）＝（ｒ（θ）ｃｏｓθ，ｒ（θ）ｓｉｎθ）

とパラメータ表示されますから，点Ｐ＝ｒ（θ）における接ベクトルは

　ｄｒ／ｄθ＝（−ａｓｉｎθ／（１＋εｃｏｓθ）^2，ａ（ε＋ｃｏｓθ）／（１＋εｃｏｓθ）^2）

となることがわかります．以上の準備の下でケプラーの法則について考えてみましょう．

　ｒやθを時間ｔの関数として，’＝ｄ／ｄｔ，”＝ｄ^2／ｄｔ^2とすれば

　　ｒ(t)＝（ｘ(t)，ｙ(t)）＝（ｒ(t)ｃｏｓθ(t)，ｒ(t)ｓｉｎθ(t)）

　　ｖ(t)＝（ｖx(t)，ｖy(t)）＝（ｒ’ｃｏｓθ−ｒθ’ｓｉｎθ，ｒ’ｓｉｎθ＋ｒθ’ｃｏｓθ）

　　ｖ’(t)＝（（ｒ”−ｒθ’^2）ｃｏｓθ−（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｓｉｎθ，（ｒ”−ｒθ’^2）ｓｉｎθ＋（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｃｏｓθ＋ｒθ’ｃｏｓθ）

　ここで，

　　ｅr＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

　　ｅθ＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）

すなわち，ｅrはｒ方向の単位ベクトル，ｅθはそれと直交する単位ベクトルとすると

　　ｖ＝ｒ’ｅr＋ｒθ’ｅθ

　　ｖ’＝（ｒ”−ｒθ’^2）ｅr＋（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｅθ

　ニュートンの運動法則：Ｆ＝ｍｖ’と万有引力の法則より

　　ｍ｛（ｒ”−ｒθ’^2）ｅr＋（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｅθ｝＝−ＧＭｍ／ｒ^2ｅr

ですから，

　　ｒ”−ｒθ’^2＝−ＧＭｍ／ｒ^2

　　ｒθ”＋２ｒ’θ’＝０

が成り立っていなければなりません．

　角運動量Ｌは位置ベクトルｒと運動量ｍｖの外積で定義され，その大きさは｜ｒ×ｍｖ｜＝ｍｒ^2θ’で表されるのですが，

　　ｄ（ｍｒ^2θ’）／ｄｔ＝ｍｒ（ｒθ”＋２ｒ’θ’）＝０

より，

　　ｍｒ^2θ’＝ｃ（一定）

これは角運動量保存則にほかなりません．

　一方，面積速度は

　　Ｓ（θ）＝1/2∫｛ｒ（θ）｝^2ｄθ，ｄＳ／ｄθ＝1/2｛ｒ（θ）｝^2

より

　　ｄＳ（θ）／ｄｔ＝1/2ｒ^2ｄθ／ｄｔ＝1/2ｒ^2θ’

角運動量が時間によらないわけですから，面積速度ｄＳ／ｄｔも時間によらず一定

　　ｃ／（２ｍ）

となるわけです．

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［Ｑ２］ニュートンの法則からケプラーの第３法則を導け（ニュートンからケプラーへ）．

［Ａ２］近似的に，太陽の周囲を公転する惑星の軌道が円であると仮定する．公転軌道半径Ｒ，公転角速度ω，公転周期Ｔとすると，

　　ｍＲω^2＝ＧＭｍ／Ｒ^2

　　ω＝√ＧＭ／Ｒ^3

　　Ｔ^2＝（２π／ω）^2＝４π^2Ｒ^3／ＧＭ

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