［Ｑ］三角形ＡＢＣ内に点Ｐをとり，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰの延長と対辺との交点をＤ，Ｅ，Ｆとする．三角形ＤＥＦの面積が最大になるのはどのようなときか？

［Ａ］Ｐが重心で，Ｄ，Ｅ，Ｆが各辺の中点のとき．

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　［参］一松信「多変数の微分積分学」現代数学社

に一松先生お得意の重心座標による解法が掲載されているので紹介したい．

　　ＯＰ↑＝ｘ・ＯＡ↑＋ｙ・ＯＢ↑＋ｚ・ＯＣ↑，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１

　　重心座標Ｄ（０，ｙ／（ｙ＋ｚ），ｚ／（ｙ＋ｚ））

　　△ＤＥＦ／△ＡＢＣ＝（分子）／（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）（ｘ＋ｙ）

　　分子＝｜０，ｙ，ｚ｜

　　　　　｜ｘ，０，ｚ｜

　　　　　｜ｘ，ｙ，０｜

より，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１の下で

　　△ＤＥＦ／△ＡＢＣ＝２ｘｙｚ／（１−ｘ）（１−ｙ）（１−ｚ）

の最大値を求める問題となる．

　逆数をとれば

　　（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ−ｘｙｚ）／ｘｙｚ＝（１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ）−１ぼ最小値を求める問題となる．

　コーシーの不等式

　　（ｘ＋ｙ＋ｚ）（（１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ）≧９

より，ｘ＝ｙ＝ｚ＝１／３

すなわち，Ｐが重心のときとなる．

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