さらなる改善を求めるためには

３次式、4次式・・・|x|^n+|y|^n=a^nを用いるしかないが

接線の長さを求めるのに、3次方程式、４次方程式が必要になるだろうし、それ以外にも面積計算ができるかどうかなど

計算がかなり複雑になることが予想される

3次は絶対値記号が入るため、4次の場合を調べてみたい

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θ=π/n、m=(n-1)/2として、掛谷定数の計算をリパラメトライズしておきたい。

ｎ芒星では三角おむすび状の図形がｎ個出現する。

原点からお結びの頂点までの距離をrとすると、おむすびの頂点は(x,y)=(rcosθ,rsinθ)

また、弧の半径をRとする。

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)で接線をひくとR=tan(mθ)=cot(θ/2)として,その中心は(1,R)となることがわかる

Rsinθ=2{cos(θ/2)}^2

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(x-1)^4+(y-R)^4=R^4とy=tanθ・xの交点が(rcosθ,rsinθ)であるから

ｒはr^4cosθ^4-4r^3cosθ^3+6r^2cosθ^2-4rcosθ+1+r^4sinθ^4-4Rr^3sinθ^3+6R^2r^2sinθ^2-4R^3rsinθ+R^4=R^4の解

r^4-4r^3(cosθ^3+R^3sinθ^3)+6r^2(cosθ^2+R^2sinθ^2)-4r(cosθ+Rsinθ)+1=0

係数は既知であるから求めることはできるが…

R=tan(mθ)=cot(θ/2)

cosθ^3+R^3sinθ^3＝cosθ^3+8cos（θ/2)^6

cosθ^2+R^2sinθ^2=cosθ^2+4cos（θ/2)^4

cosθ+Rsinθ=cosθ+2cos（θ/2)=2cos（θ/2)^2+2cos（θ/2)-1

根と係数の関係からどれかが定数になることを期待したが、うまくいかない

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S1=1/2・(tanθ-θ)・・・変化しない

S2=1/2・(1-rcosθ)・(R-tanθ)・・・変化しない

S3=1/2・R^2arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}・・・変化するR^2→R^4

1/2・∫r(θ)dθにおいて、r(θ)=R^4

それほど単純ではない

(1,R)からの距離の4乗和が一定であるが、2乗和は一定ではないのでこの式はNGである。

(x-1)^4+(y+R)^4=R^4は正しい。

(x-1)=Rcost^1/2、y+R=Rsint^1/2とパラメトライズすることはできる

面積はストークスの公式1/2∫(xy'-yx')dtにより求めるしかない

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

　　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝∫ｘｙ’ｄθ

　　Ｓ＝1/2∫（ｙｄｘ-ｘｄｙ）＝1/2∫（ｙｘ’-ｘｙ’）ｄθ

x=cost^1/2

y=sint^1/2

x'=1/2・cost^-1/2・(-sint)

y'=1/2・sint^-1/2・(cost)

ｙｘ’-ｘｙ’=1/2・{tant^1/2・(-sint)-cott^1/2・(cost)}＝1/2・{-sint^3/2/cost^1/2-cost^3/2・(sint)^1/2}

＝1/2・{-1/cost^1/2・(sint)^1/2}

＝-1/√2・{1/sin2t^1/2}・・・公式集には見当たらない。万事窮すか

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x=cost^2/3

y=sint^2/3

x'=2/3・cost^-1/3・(-sint)

y'=2/3・sint^-1/3・(cost)

ｙｘ’-ｘｙ’=2/3・{-sint^5/3/cost^1/3-cost^5/3・(sint)^1/3}

＝1/2・{-1/cost^1/3・(sint)^1/3}

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x=cost

y=sint

x'=(-sint)

y'=(cost)

ｙｘ’-ｘｙ’={-1}

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∫(sint)^(-(d-2)/d)dtが出現したが、(d-2)/dは整数ではなく、積分不能と思われる

整数となるのは

(d-2)/d=2→d=-2

(d-2)/d=3→d=-1

(d-2)/d=4→d=-2/3など

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(d-2)/d=0→d=2

(d-2)/d=-1→d=1

(d-2)/d=-2→d=2/3など

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