さらなる改善を求めるためには

３次式、4次式・・・|x|^n+|y|^n=a^nを用いるしかないが

接線の長さを求めるのに、3次方程式、４次方程式が必要になるだろうし、それ以外にも面積計算ができるかどうかなど

計算がかなり複雑になることが予想される

3次は絶対値記号が入るため、4次の場合を調べてみたい

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θ=π/n、m=(n-1)/2として、掛谷定数の計算をリパラメトライズしておきたい。

ｎ芒星では三角おむすび状の図形がｎ個出現する。

原点からお結びの頂点までの距離をrとすると、おむすびの頂点は(x,y)=(rcosθ,rsinθ)

また、弧の半径をRとする。

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)で接線をひくとR=tan(mθ)=cot(θ/2)として,その中心は(1,R)となることがわかる

Rsinθ=2{cos(θ/2)}^2

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(x-1)^4+(y-R)^4=R^4とy=tanθ・xの交点が(rcosθ,rsinθ)であるから

ｒはr^4cosθ^4-4r^3cosθ^3+6r^2cosθ^2-4rcosθ+1+r^4sinθ^4-4Rr^3sinθ^3+6R^2r^2sinθ^2-4R^3rsinθ+R^4=R^4の解

r^4-4r^3(cosθ^3+R^3sinθ^3)+6r^2(cosθ^2+R^2sinθ^2)-4r(cosθ+Rsinθ)+1=0

係数は既知であるから求めることはできるが…

R=tan(mθ)=cot(θ/2)

cosθ^3+R^3sinθ^3＝cosθ^3+8cos（θ/2)^6

cosθ^2+R^2sinθ^2=cosθ^2+4cos（θ/2)^4

cosθ+Rsinθ=cosθ+2cos（θ/2)=2cos（θ/2)^2+2cos（θ/2)-1

根と係数の関係からどれかが定数になることを期待したが、うまくいかない

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S1=1/2・(tanθ-θ)・・・変化しない

S2=1/2・(1-rcosθ)・(R-tanθ)・・・変化しない

S3=1/2・R^2arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}・・・変化するR^2→R^4

1/2・∫r(θ)dθにおいて、r(θ)=R^4

それほど単純ではない

(1,R)からの距離の4乗和が一定であるが、2乗和は一定ではないのでこの式はNGである。

(x-1)^4+(y+R)^4=R^4は正しい。

(x-1)=Rcost^1/2、y+R=Rsint^1/2とパラメトライズすることはできる

面積はストークスの公式1/2∫(xy'-yx')dtにより求めるしかない

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

　　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝∫ｘｙ’ｄθ

　　Ｓ＝1/2∫（ｙｄｘ-ｘｄｙ）＝1/2∫（ｙｘ’-ｘｙ’）ｄθ

x=cost^1/2

y=sint^1/2

x'=1/2・cost^-1/2・(-sint)

y'=1/2・sint^-1/2・(cost)

ｙｘ’-ｘｙ’=1/2・{tant^1/2・(-sint)-cott^1/2・(cost)}＝1/2・{-sint^3/2/cost^1/2-cost^3/2・(sint)^1/2}

＝1/2・{-1/cost^1/2・(sint)^1/2}

＝-1/√2・{1/sin2t^1/2}・・・公式集には見当たらない。万事窮すか

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x=cost^2/3

y=sint^2/3

x'=2/3・cost^-1/3・(-sint)

y'=2/3・sint^-1/3・(cost)

ｙｘ’-ｘｙ’=2/3・{-sint^5/3/cost^1/3-cost^5/3・(sint)^1/3}

＝1/2・{-1/cost^1/3・(sint)^1/3}

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x=cost

y=sint

x'=(-sint)

y'=(cost)

ｙｘ’-ｘｙ’={-1}

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　微分方程式を解くことを「積分」するといいます．１７世紀にニュートンが解明したケプラー運動（２次曲線）をはじめとして，三角関数で解ける調和振動子，楕円関数で解ける単純振り子，コマの運動方程式（コワレフスカヤ）など，１９世紀には様々な解ける＝積分できる力学系が知られていました．

　１９世紀半ばにリュービルはこれらの力学系の本質が「保存量」の存在にあることを見抜き，可積分系の明確な定義を与えました．例えば，軌道に沿ってエネルギーが変化しない系（保存系）を表わす関数をハミルトン関数といい，物理の世界では運動の全エネルギーを表わすものとして有名です．

　可積分系とは元来力学用語で，線形化可能あるいは線形系と関連づけられる非線形力学の総称です．連続の世界（微分方程式）だけでなく離散の世界（差分方程式）においても可積分系の概念は存在し，コンピュータときわめて相性がよいことが知られています．セルオートマトンなどはその例でしょう．

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【３】可積分系とテータ関数

　微分方程式を解くことを「積分」するといいます．１７世紀にニュートンが解明したケプラー運動（２次曲線）をはじめとして，三角関数で解ける調和振動子，楕円関数で解ける単純振り子，コマの運動方程式（コワレフスカヤ）など，１９世紀には様々な解ける＝積分できる力学系が知られていました．

　１９世紀半ばにリュービルはこれらの力学系の本質が「保存量」の存在にあることを見抜き，可積分系の明確な定義を与えました．例えば，軌道に沿ってエネルギーが変化しない系（保存系）を表わす関数をハミルトン関数といい，物理の世界では運動の全エネルギーを表わすものとして有名です．力学系が保存系であるとすると，系は求積法で解けるというのがリュービルの定理というわけです．

　自由度１の系は可積分です．しかし，自由度が２以上の系は線形の体系を除き積分不可能です．多自由度系で可積分なものとしては重心を支えられた剛体の自由回転（オイラー），軸対称のコマ（ラグランジュ）がよく知られています．これらの解はテータ関数（したがって楕円関数）を用いて表すことができます．また，コワレフスカヤは新たな可積分系としてある特別な回転する剛体（コワレフスカヤのコマ）を得たのですが，この解は２変数テータ関数で与えられます．

　一般的にいうと解析的に解ける（可積分系）は極めて特殊な場合だけであって，３体以上の体系は可積分系でなくカオス系になります．戸田格子は可積分な非線形格子として知られています．

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