６０＝２^2・３・５であるから，約数の数は３・２・２＝１２である．ｎ（約数の数）で表すと

　　２（２），４（３），６（４），１２（６），２４（８），

　　３６（９），４８（１０），６０（１２），１２０（１６），

　　１８０（１８），２４０（２０），３６０（２４），７２０（３０），

　　８４０（３２），１２６０（３６），１６８０（４０），

　　２５２０（４８），５０４０（６０），・・・

１００以下の整数で約数の数が最大になるのは，６０，７２，９０の３個で，約数の数は１２である．

　　６０＝２^2×３^1×５^1

　　７２＝２^3×３^2

　　９０＝２×３^2×５^1

しかし，１２０までは約数の個数は更新されないのである．

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【１】約数の個数を更新する合成数

　高次合成数２，４，６，１２，２４，３６，４８，６０，１２０，・・・には何かパターンがあるのだろうか？　ラマヌジャンはそれを発見したのである．

　　ｎ＝２^a2×３^a3×５^a5×７^a7×・・・×ｐ^ap

高次合成数２４，６０は

　　２４＝２^3×３^1，ａ2＝３，ａ3＝１

　　６０＝２^2×３^1×５^1，ａ2＝２，ａ3＝１，ａ5＝１

のように表せる．

　また，

　　４３２４３２０＝２^5×３^3×５×７×１１×１３

　　６７４６３２８３８８８００＝２^6×３^4×５^2×７^2×１１×１３×１７×１９×２３，ａ2≧ａ3≧ａ5≧・・・≧ａp≧１

　ａ2≧ａ3≧ａ5≧・・・≧ａp≧１は最後の指数は１になることを示しているが，無数にある高次合成数のなかでただ２つの例外がある．

　　４＝２^2，３６＝２^2×３^2

しかし，２^3×３^4×・・・というものは決して存在しない．初等的ではあるが独創的な洞察である．

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【２】検証

　　２＝２^1，

　　４＝２^2

　　６＝２^1・３^1

　　１２＝２^2・３^1

　　２４＝２^3・３^1

　　３６＝３^2・３^2

　　４８＝２^4・３

　　６０＝２^2・３^1・５^1

　　１２０＝２^3・３^1・５^1

　　１８０＝２^2・３^2・５^1

　　２４０＝２^4・３^1・５^1

　　３６０＝２^3・３^1・５^1

　　７２０＝２^4・３^1・５^1，

　　８４０＝２^3・３^1・５^1・７^1

　　１２６０＝２^2・３^2・５^1・７^1

　　１６８０＝２^4・３^1・５^1・７^1

　　２５２０＝２^3・３^2・５^1・７^1

　　５０４０＝２^4・３^2・５^1・７^1

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【２】素約数の個数

　　２４＝２^3・３^1→２個

　　６０＝２^2×３^1×５^1→３個

　　７２＝２^3×３^2→２個

　　９０＝２×３^2×５^1→３個

　　４３２４３２０＝２^5×３^3×５×７×１１×１３→６個

　　６７４６３２８３８８８００＝２^6×３^4×５^2×７^2×１１×１３×１７×１９×２３→９個

１０^50のような大きな数でさえ、２と３だけで、全素因数の２５％になるという。

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