ラマヌジャンの等式は，ゼータ関数の積分表示

　　ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx

の離散化とみることができるが，この式はプランク分布（Bose-Einstein統計）そのものといってもよい．ラマヌジャンの計算の近似値を求めてみることにしよう．

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【１】ラマヌジャンの等式の近似値

　　ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx

において，ｘ＝２πｙとおくと，ｄｘ＝２πｄｙより，

　　∫(0,∞)y^(s-1)/{exp(2πy)-1}dy=ζ(s)Γ(s)/(2π)^s

　これより，

　　Σn^(s-1)/{exp(2πn)-1}　〜　 ζ(s)Γ(s)/(2π)^s

ここで，ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945を代入すると，

　　Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504　〜　1/504

　　Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240　〜　1/240

　　Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π　〜　1/24

　　Bose-Einstein統計　→　ζ(x)=1/Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(t)-1)dt

と同様に，

　　Fermi-Dirac統計　→　ζ(x)=1/(1-2^(1-x))Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(t)+1)dt

　　Maxwell-Boltzmann統計　→　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt

が対応すると見ることができる．

　　Σn^(s-1)/{exp(2πn)+1}　〜　 ζ(s)Γ(s)(1-2^(1-s))/(2π)^s

　　Σn^(s-1)/{exp(2πn)}　〜　 Γ(s)/(2π)^s

したがって，

　　Σn^5/{exp(2πn)+1}　〜　(1-2^(-5))/504=31/(32･504)

　　Σn^3/{exp(2πn)+1}　〜　(1-2^(-3))/240=7/(8･240)

　　Σn/{exp(2πn)+1}=1/24-1/8π　〜　(1-2^(-1))/24=1/(2･24)

　　Σn^5/{exp(2πn)}　〜　6!/(2π)^6=45/(4π^6)

　　Σn^3/{exp(2πn)}　〜　4!/(2π)^4=3/(2π^4)

　　Σn/{exp(2πn)}　〜　2!/(2π)^2=1/(2π^2)

　実は，

　　Σn^k/{exp(2πn)}=?

については近似値を求める必要はなく，

　　Σ1/n{exp(2πn)}=-log(1-exp(-2π))

　　Σ1/{exp(2πn)}=1/(exp(2π)-1)

　　Σn/{exp(2πn)}=exp(2π)/(exp(2π)-1)^2

　　Σn^2/{exp(2πn)}=exp(2π)(exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^3

　　Σn^3/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(4π)+4exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^4

　　Σn^4/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(6π)+11exp(4π)+11exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^5

　　Σn^5/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(8π)+26exp(6π)+66exp(4π)+26exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^6

などと計算されます．

　ｋ＜−１の場合は，ポリログ関数が出現します．

　　Σ1/n^2{exp(2πn)}=polylog(2,exp(-2π))=L2(exp(-2π))

　　Σ1/n^3{exp(2πn)}=polylog(3,exp(-2π))=L3(exp(-2π))

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