（その３）の補足である．

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【１】ラマヌジャン予想

　自然数ｎに対して，σk（ｎ）を正の約数のｋ乗和

　　σk（ｎ）＝Σｄ^k

とする．たとえば，σ3（６）＝１^3＋２^3＋３^3＋６^6＝２５２

　σk（ｎ）を一般化することはできないか？　たとえば，重さｋのアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数には，σk-1（ｎ）が現れる→［補］．ラマヌジャン関数はこの問いかけから出発している．

　ラマヌジャンは

　　τ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^11/2＋ε）

と予想した．ラマヌジャン自身はτ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^7）であることを証明したが，ハーディはτ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^6），ランキンはτ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^29/5）であることを証明した．

　１９７４年，ドリーニュが，ラマヌジャン予想

　　τ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^11/2＋ε）

を証明してみせた．この業績により彼にはフィールズ賞が与えられている．

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【２】ロジャース・ラマヌジャンの恒等式

　たとえば，

［１］１０を分割するのに分割を構成する数字の差が２以上になるという制限を設けると

　　８＋２＝１０

　　６＋３＋１＝１０

　　１０＝１０

　　９＋１＝１０

　　７＋３＝１０

　　６＋４＝１０の全部で６通り

［２］１０を分割するのに分割数を５ｍ＋１または５ｍ＋４（すなわち，１，４，６，９）に制限したらどうなるだろうか？

　　６＋４＝１０

　　４＋１＋１＋１＋１＋１＋１＝１０

　　１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＝１０

　　９＋１＝１０

　　６＋１＋１＋１＋１＝１０

　　４＋４＋１＋１＝１０の全部で６通り

［１］＝［２］というのが，ロジャース・ラマヌジャンの恒等式である．

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［補］アイゼンシュタイン級数

　ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数

　　Ｅk＝１／２Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k

　　　　ｍ，ｎは互いに素，ｋは整数４，６，８，・・・（４以上の偶数）

です．すなわち，アイゼンシュタイン級数は変換公式

　　Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)

　　　　ｃ，ｄは互いに素，ａｄ−ｂｃ＝１

を満たすというわけです．

　保型性の定義から

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)

はすぐわかりますが，前者は周期性，後者は双対性と理解することができます．

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)　　　　（周期性）

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

　この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むので，任意の保型形式はq=exp(2πiz)とするフーリエ展開をもち，

　　Ｅ4(z)＝１＋２４０Σσ3(n)ｑ^n

　　Ｅ6(z)＝１−５０４Σσ5(n)ｑ^n

　　Ｅ8(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ｑ^n

　　Ｅ10(z)＝１−２６４Σσ9(n)ｑ^n

　　Ｅ12(z)＝１＋６５５２０／６９１Σσ11(n)ｑ^n

　　Ｅ14(z)＝１−２４Σσ13(n)ｑ^n

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　　　σk(n)はｎの正の約数のｋ乗和

　ベルヌーイ数を用いると

　　Ｅk(z)＝１−２ｋ／ＢkΣσk-1(n)ｑ^n

また，ζ(1-k)＝−Ｂk／ｋにより

　　Ｅk(z)＝１−２／ζ(1-k)Σσk-1(n)ｑ^n

とも表されます．これらはすべてのσk(n)を教えてくれる母関数であり，それが保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以です．

　アイゼンシュタイン級数を用いると

　　Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24

　　　　 ＝q-24q^2+252q^3-1472q^4+5483q^5+･･･

は

　　Δ(z)＝1/1732(E4(z)^3-E6(z)^2)

と表されます．

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