【１】素数定理

　素数の分布は不規則かつ複雑で未知の部分が多いのですが，１８世紀から１９世紀にまたがって活躍したガウスは，「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え，素数定理を予想しました（１７９２年：ガウスは当時１５才であった）．

　素数定理とは，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

というものです．ここで，π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとします．素数定理は，ｘを超えない素数の個数を与える近似的な公式ですが，”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｘの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｘを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束する，

　　π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）〜１　　　（ｘ→∞）

ということです．ｘに近い２つの連続した素数間の平均距離はおよそｌｏｇｘだといってもよいでしょう．

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【２】概素数定理？

　さらに，ガウスは対数表の裏表紙に

　　２つの素因数をもつ数〜（ｌｏｇｌｏｇｘ）・ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

　　３つの素因数をもつ数〜１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2・ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

と書き込んだことが伝えられています．素因数を２つしかもたない合成数は概素数ということができるので，概素数定理？と呼ぶことにします．

　これらを合わせると，

　　ｘ／ｌｏｇｘ・｛１＋ｌｏｇｌｏｇｘ＋１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2＋・・・｝〜ｘ　　　（ｘ→∞）

すなわち，

　　１＋ｌｏｇｌｏｇｘ＋１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2＋・・・→ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

が成り立たなければなりませんが，

　　ｅｘｐｘ〜１＋ｘ＋ｘ^2／２・・・・

　　ｘ←ｌｏｇｌｏｇｘを代入すると

　　ｌｏｇｘ〜１＋ｌｏｇｘｌｏｇｘ＋１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2＋・・・

となることが示されます．

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