さらなる改善を求めるためには

３次式、4次式・・・|x|^n+|y|^n=a^nを用いるしかないが

接線の長さを求めるのに、3次方程式、４次方程式が必要になるだろうし、それ以外にも面積計算ができるかどうかなど

計算がかなり複雑になることが予想される

3次は絶対値記号が入るため、4次の場合を調べてみたい

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θ=π/n、m=(n-1)/2として、掛谷定数の計算をリパラメトライズしておきたい。

ｎ芒星では三角おむすび状の図形がｎ個出現する。

原点からお結びの頂点までの距離をrとすると、おむすびの頂点は(x,y)=(rcosθ,rsinθ)

また、弧の半径をRとする。

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)で接線をひくとR=tan(mθ)=cot(θ/2)として,その中心は(1,R)となることがわかる

Rsinθ=2{cos(θ/2)}^2

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(x-1)^4+(y-R)^4=R^4とy=tanθ・xの交点が(rcosθ,rsinθ)であるから

ｒはr^4cosθ^4-4r^3cosθ^3+6r^2cosθ^2-4rcosθ+1+r^4sinθ^4-4Rr^3sinθ^3+6R^2r^2sinθ^2-4R^3rsinθ+R^4=R^4の解

r^4-4r^3(cosθ^3+R^3sinθ^3)+6r^2(cosθ^2+R^2sinθ^2)-4r(cosθ+Rsinθ)+1=0

係数は既知であるから求めることはできるが…

R=tan(mθ)=cot(θ/2)

cosθ^3+R^3sinθ^3＝cosθ^3+8cos（θ/2)^6

cosθ^2+R^2sinθ^2=cosθ^2+4cos（θ/2)^4

cosθ+Rsinθ=cosθ+2cos（θ/2)=2cos（θ/2)^2+2cos（θ/2)-1

根と係数の関係からどれかが定数になることを期待したが、うまくいかない

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S1=1/2・(tanθ-θ)・・・変化しない

S2=1/2・(1-rcosθ)・(R-tanθ)・・・変化しない

S3=1/2・R^2arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}・・・変化するR^2→R^4

1/2・∫r(θ)dθにおいて、r(θ)=R^4

それほど単純ではない

(1,R)からの距離の4乗和が一定であるが、2乗和は一定ではないのでこの式はNGである。

(x-1)^4+(y+R)^4=R^4は正しい。

(x-1)=Rcost^1/2、y+R=Rsint^1/2とパラメトライズすることはできる

面積はストークスの公式1/2∫(xy'-yx')dtにより求めるしかない

おむすびの面積は

S4=(S3-S1-S2)x2となる

S=π-ｎS4

L=1+r

S/L^2→?

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S1→1/2・(θ^3/3+・・・)→0

n・S1→ｎ/2・(θ^3/3+・・・)→0

S2→1/2・(1-r)・(R-tanθ))

n・S2→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・(n・tanθ)→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・π

n・tanθ→π

S3→1/2・R^2arctan{(1-r)/(R)・{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}

=1/2・R^2・{(1-r)/(R)・{{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}-1/3{(1-r)/(R)}^3{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}^3+・・・}

=1/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)(rsinθ)+1/2・(1-r)(rsinθ)^2/R・・・-1/6・(1-r)^3/R+・・・}

n・S3→n/2・(1-r)・R+n/2・(1-r)(rsinθ)-n/6(1-r)^3/R+・・・→n/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)rπ-1/12・(1-r)^3π+・・・

n・sinθ→π

n/R→π/2

r→3-√8

n・(S3-S1-S2)→1/2・(1-r)(1+r)π-1/12・(1-r)^3π =1/12・(1-r){6(1+r)-(1-r)^2}=1/12・(1-r){5+8r-r^2}π

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2nS4=1/6・(1-r){5+8r-r^2}π→1/6・(-2+√8)(12-2√8)π

S=π-2nS4=1/6・(6-(-40+16√8)=1/6・(46-16√8)

S/L^2=S/(4-√8)^2=S/(24-8√8)=1/24・(5-2√2)

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弧の中点における接線の長さを求めておきたい

弧の中点までの距離は

L=(1+R^2)^1/2-R・・・変化しない

弧の中点は(Lcosmθ,Lsinmθ)

接線の方程式は

y=-1/tanmθ(x-Lcosmθ)+Lsinmθ=-1/tanmθ・x+Lcosmθ/tanmθ+Lsinmθ

=-1/tanmθ・x+L/sinmθ

=-1/R・x+L/sinmθ

(x-1)^2+(y+R)^2=R^2・・・変化する (x-1)^4+(y+R)^4=R^4

x^2-2x+1+y^2+2Ry=0

x^2-2x+1+(-1/R・x+L/sinmθ)^2+2R(-1/R・x+L/sinmθ)=0

x^2-2x+1+(1/R)^2・x^2-2L/(Rsinmθ)・x+(L/sinmθ)^2 -2・x+2LR/sinmθ=0

との交点は

x^2{1+(1/R)^2}+

x{-4-2L/(Rsinmθ)}

+1+(L/sinmθ)^2+2R(L/sinmθ)=0

の小さいほうで計算される

弧の長さは2((x-Lcosmθ)^2+(y-Lsinmθ)^2)^1/2

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