【４】ディリクレの定理と鳩の巣原理

近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．

(証)αが有理数で，α＝ｐ／ｑと表されたとする．｛ｂn｝は次々に大きくなる整数列であるから，ｑ＜ｂnである番号をとると

　　｜α−ａn／ｂn｜＝｜ｐ／ｑ−ａn／ｂn｜＝｜ｐｂn−ｑａn｜／ｑｂn

　しかし，ａn／ｂnはαとは一致しないので分子は１以上．したがって

　　｜α−ａn／ｂn｜≧１／ｑｂn

であるが，これが＜１／ｂn^2なのでｑ＞ｂnとなり矛盾．すなわち，αは有理数ではあり得ないことになる．

　このように，「ディリクレの定理」の証明は，引き出し論法あるいは鳩の巣原理と呼ばれるものから容易に導かれる．この原理はｎ個の巣箱にｎ＋１羽の鳩が入っているならば，ある巣箱には少なくとも２羽の鳩が入っていなければならないというものである．

　ｘの小数部分ｘ−［ｘ］を｛ｘ｝と書くことにすると，０≦｛ｘ｝＜１である．ここでｑ＋１個の数，０，１，｛α｝，｛２α｝，・・・，｛（ｑ−１）α｝を考えると，これらの数はすべて区間［０，１］に属する．

　区間［０，１］をｑ個の互いに交わらないながさ１／ｑの小区間に分割すれば，ｑ＋１個の数のうちの２個は同じ小区間に入ることになる．その２数の差はｂnα−ａnで，また，０＜ｂn＜ｑであるから，｜ｂnα−ａn｜≦１／ｑが成り立つ．

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