１^2＋１＝２　　　　　（素数）

　　２^2＋１＝５　　　　　（素数）

　　４^2＋１＝１７　　　　（素数）

　　６^2＋１＝３７　　　　（素数）

　　８^2＋１＝６５　　　　（素数でない）

　１０^2＋１＝１０１　　　（素数）

　１４^2＋１＝１９７　　　（素数）

　１６^2＋１＝２５７　　　（素数）

　２０^2＋１＝４０１　　　（素数）

　２４^2＋１＝５７７　　　（素数）

　２６^2＋１＝６７７　　　（素数）

　３６^2＋１＝１２９７　　　（素数）

　４０^2＋１＝１６０１　　　（素数）

　５４^2＋１＝２９１７　　　（素数）

　５６^2＋１＝３１３７　　　（素数）

　６６^2＋１＝４３５７　　　（素数）

　７４^2＋１＝５４７７　　　（素数）

　８４^2＋１＝７０５７　　　（素数）

　９０^2＋１＝８１０１　　　（素数）

　９４^2＋１＝８８３７　　　（素数）

　１１０^2＋１＝１２１０１　　　（素数）

　１１６^2＋１＝１３４５７　　　（素数）

　１２０^2＋１＝１４４０１　　　（素数）

　１２４^2＋１＝１５３７７　　　（素数）

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【１】１０を原始根とする素数

　　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２７５８の長さ６）

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．

　１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

　ここでふたたび，オイラー積のアナログ：アルティン積が出現しました．もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．

　しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．

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【２】ｎ^2＋１型素数

　ｎ^2＋１型素数は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　数ｎ＝ｋ^2＋１が素数である確率は，おおよそ

　　１／ｌｏｇｎ・１／√ｎ

したがって，

　　πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．

　　Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））

　　ｎ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝１

　　ｎ^2＋１≠０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝−１

　　Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・

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【３】素数定理の広い一般化（ベートマン・ホーン予想）

　　ｆ1（ｎ）＝ａd1ｎ^d1＋ａd1-1ｎ^d1-1＋・・・＋ａ10

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｆr（ｎ）＝ａdrｎ^dr＋ａdr-1ｎ^dr-1＋・・・＋ａr0

　　ｆ＝ｆ1・ｆ2・・・ｆr

の場合の素数定理は

　　πf（ｘ）〜１／（ｄ1・・・ｄr）Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ）^r

と予想されています．

　　ｒ＝１，ｆ（ｎ）＝ｎ→素数定理

　　ｒ＝１，ｆ（ｎ）＝ａｎ＋ｂ→算術級数型素数定理（ディリクレの定理）

　　ｒ＝１，ｆ（ｎ）＝ｎ^2＋１→ｎ^2＋１型素数定理

　　ｒ＝２，ｆ1（ｎ）＝ｎ，ｆ2（ｎ）＝ｎ＋２→双子素数定理

に他ならず，いずれもベートマン・ホーン予想の特別な場合となっています．

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