有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．

　　π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ　　　Ｃ＝１／φ（ｎ）

　算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数

　　φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）

として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　１７６０年頃，オイラーは，数ｎが素因数ｐ，ｑ，ｒ，・・・をもつときに，それらの重複度にかかわらず，

　　φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ）（１−１／ｑ）（１−１／ｒ）・・・

であることを示しました．この原理は「エラトステネスのふるい」によっているのですが，たとえば，１０＝２・５，４４＝２^2・１１，１００＝２^2・５^2より，

　　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

　　φ（４４）＝４４（１−１／２）（１−１／１１）＝２０

　　φ（１００）＝１００（１−１／２）（１−１／５）＝４０

　しかしながら，・・・

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［１］フィボナッチ数列の中に素数は無限に存在するかどうかは，いまだに解かれていない問題です．

［２］ｎ^2＋１型素数は無限個存在するか？

　　ｘ^2＋ｙ^4型素数は無限個存在することが証明されているが，肝心の問題はまだ攻めめ落とせていない．

　　π（ｘ）〜Ｃ・√ｘ／ｌｏｇｘ，Ｃ＝１．３７２７・・・

と予想されている．

［３］メルセンヌ素数（２^n−１型素数）は無限個存在するか？

　　π（ｘ）〜ｅｘｐγ・ｌｏｇｌｏｇｘ／ｌｏｇ２

と予想されている．

［４］双子素数（ｐ，ｐ＋２）は無限個存在するか？

　　π（ｘ）〜２Ｃ・ｘ／（ｌｏｇｘ）^2

　　Ｃ＝Πｐ（ｐ−２）／（ｐ−１）^2＝０．６６０１６・・・

と予想されている．

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