【１】ミンコフスキーの定理

　２次元空間充填の基本形は６角形，３次元空間充填の基本形は１４面体，４次元空間充填の基本形は３０胞体となるが，１００年以上前にこのことを考察している人がいた．

　一般に，ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる．ｎ＋１個のとき，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個となる（ミンコフスキーの定理）．したがって，３次元平行多面体の面数は最大１４面となるし，４次元平行多胞体の胞数は最大３０胞となる．

　　ｎ＝２　→　ｆ＝６

　　ｎ＝３　→　ｆ＝１４

　　ｎ＝４　→　ｆ＝３０

　　ｎ＝５　→　ｆ＝６２

［１］平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかない．これら５種類の図形（平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であり，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる．

［２］ｎ次元ボロノイ細胞の決定に関与する基底ベクトルは２^n−１個あり，したがって原始的平行多面体の面の数は最大で２（２^n−１）個，すなわち，原始的ｎ次元２（２^n−１）胞体には平行なｎ−１次元面が（２^n−１）組，平行なｎ−２次元面がｎ（ｎ＋１）／２組あることは組み合わせ的方法によって容易に理解されるところである．

　したがって，ミンコフスキーの定理を拡張する方向としては，ひとつには

［１］平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる５種類の平行多面体（フェドロフの平行多面体）はよく知られているが，ｎ次元平行多面体にはどれだけの種類があるか？

もうひとつには

［２］頂点は何組，辺は何組，ｋ次元面は何組あるだろうか？　あるいは，面の形はどうなるのだろうか？

になる．

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【２】前者の解

　平行多面体の基本形はプリミティブ（原始的）と呼ばれる．２次元平行多面体のプリミティブは平行六辺形（正六角形）であり，平行四辺形（正方形）はプリミティブが遷移したものと考えられる．平面分割多角形の基本的な辺数は６辺である．一方，空間分割多面体の基本的な面数は１４面である．切頂八面体はプリミティブで，他の４種類は切頂八面体が遷移した多面体である．

　一般に，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個，最小２ｎ個となるが，各頂点の次数がｎで面数が最大２（２^n−１）面の場合がプリミティブである（ミンコフスキーの定理）．

　２次元の平行多面体は２種類（原始的１），３次元の平行多面体は５種類（原始的１）あるが，４次元の平行多面体は３次元の５種類から５２種類（原始的３）へと急増する．

　また，５次元の場合には，１０３９９１種類と膨大で，原始的なものだけでも２２２種類見つかっている．５次元での平行多面体の状況ははるかに多様となって，そのリストアップはいまでも完成していない．急速に複雑さが増していくのである．

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【３】後者の解

　後者は多面体的組み合わせ論の領域で，置換多面体（permuhahedron）として有名である．ａ1＞ａ2＞・・・＞ａnとするとき，（ａ1，ａ2，・・・，ａn）の添字を置換して得られるｎ！個の点からなる（ｎ−１）次元の多面体は置換多面体（順列多面体）と呼ばれる．とくにａ1＝ｎ，ａ2＝ｎ−１，・・・，ａn＝１の場合を指すこともある

　置換多面体は置換を１回適用することで同じものになる２頂点を辺で結んでできる．たとえば，ｎ＝４の場合の置換多面体で，頂点１３４２と結ばれるのは１４３２，１３２４，３１４２の３頂点である．この多面体は２^n−２個のファセットをもつ．

　したがって，ｎ次元置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影で，単純ゾーン多面体で，（ｎ＋１）！個の頂点と２（２^n−１）個のファセットをもつことになる（２次元置換多面体は六角形，３次元置換多面体は切頂八面体）．

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【４】まとめ

　ミンコフスキーが原始的平行多面体として取り上げた２（２^n−１）胞体である．とくに，primitive,principal,maximalの条件を満たすものは置換多面体（permutahedron）と同値であって，多面体的組み合わせ論の重要な研究対象となってきた．にも関わらず，その面数公式は先人達の挑戦を退けてきた難題となった．

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