０次元の点がまっすぐ動くと１次元の線分になる．１次元の線分が平面の上で自分と直角の方向に同じ長さだけ動くと，２次元の正方形になる．２次元の正方形が３次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，３次元の立方体となる．この３次元立方体が４次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，同じ大きさの８個の立方体からなる４次元の立方体（正８胞体）になる・・・．このように，３次元立方体の８つの頂点を第４の方向に１単位だけ平行移動することにより，４次元立方体の３次元投影図を描くことができる．

　つまり，以下の図は４次元立方体の投影図というわけである．

　それを会社のロゴとしているところもある（イメージミッション社）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　それでは次の図は何だろうか？

　正五角形に対角線を描き入れると星形五角形（ソロモンの星）ができるが，正五角形と星形五角形の入れ子はペンタグラムと呼ばれる．

　あるひとにとっては正五角形に適当に対角線を引いたように見えるかもしれない．黄金比は正五角形と密接な関係にある．正五角形に対角線を書き入れると星形五角形できるが，数学を知っている読者は，この手順を繰り返すと，正五角形と星形五角形が少しずつ縮小しながら無限に入れ子状になった図形を作ることができることを知っているだろう．また，グラフ理論を知っているひとならば，完全グラフＫ5と答えるかもしれない．しかし，それでもイメージは貧困である．

　幾何学者にとっては，この図形は４次元正単体の投影図そのものなのである．もっといえば，ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフＫn+1とみなすことができるのである．

　もし，この図が５つの四面体の結合にみえたなら，あなたも立派な幾何学者である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　数学の世界には，ごく稀ですが，４次元や高次元の世界をイメージできる人がいます．たとえば，ペトリーは子供の頃から数学に対する異常な能力を示し，４次元図形を直観的に見ることができたといわれています．

　しかしながら，３次元の世界を視覚化できるだけでも十分に希有な能力であって，数学者であっても２次元のイメージで何とかやっている人がほとんどです．実際，数学者であってもこの図形が４次元正単体の投影図であることを知っている人は（たとえいたとしても）少ないのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝