ある数から始めて一定の手続きを繰り返すと最初の数の戻るという現象を紹介します．

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【１】カプレカーの定数

［１］（全部の桁が同じ数字ではない）４桁の数をひとつ勝手に選ぶ．

［２］各数字を大きい順に並べ直した数から小さい順に並べ直した数を引く．［３］同じ操作を繰り返す．

　どんな４桁の数から出発しても，最大７回で６１７４になる．いったん６１７４に到達すると何回繰り返してもまた６１７４になる．このループはインド人数学者カプレカーによって発見された（１９４６年）．

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【２】桁数の変更

　２桁の数をカプレカー変換することによって，いずれ８１→６３→２７→４５→０９→８１ループに入り込む．ループの入り口は８１ひとつではなく，たとえば６３からループに入り込んだりする．それに対して，すべての３桁の数，４桁の数の入り口はひとつで，それぞれ最終的に４９５，６１７４に落ちつく．

［１］（全部の桁が同じ数字ではない）２桁の数を最初の選ぶと，カプレカー定数は８１となり，長さ５のループが現れる（８１→６３→２７→４５→０９→８１）．

［２］３桁の数を最初の選ぶと，カプレカー定数は４９５となり，長さ１のループが現れる（４９５→４９５）．

［３］４桁の数を最初の選ぶと，カプレカー定数は６１７４となり，長さ１のループが現れる（６１７４→６１７４）．

　もっと桁数の多い数から始めるとかなり複雑であり，複数のサイクルが現れたりする．

［４］５桁の数を最初の選ぶと，カプレカー定数は５３９５５，６１９７４，６２９６４のいずれかとなり，それぞれのループは

　　長さ２（５３９５５→５９９９４→５３９５５）

　　長さ４（６１９７４→８２９６２→７５９３３→６３９５１→６１９７４）

　　長さ４（６２９６４→７１９７３→８３９５２→７４９４３→６２９６４）

［５］６桁の数を最初の選ぶと，カプレカー定数は５４９９４５，６３１７６４，４２０８７６のいずれかとなり，それぞれのループは

　　長さ１（５４９９４５→５４９９４５）

　　長さ１（６３１７６４→６３１７６４）

　　長さ７（４２０８７６→８５１７４２→７５０８４３→８４０８５２→８６０８３２→８６２６３２→６４２６５４→４２０８７６）

［６］７桁の数を最初の選ぶと，カプレカー定数は７５０９８４３となり，そのループは

　　長さ８（７５０９８４３→９５２９６４１→８７１９７２２→８６４９４３２→７５１９７４３→８４２９６５２→７６１９７３３→８４３９５５２→７５０９８４３）

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【３】１０進法以外

　４桁の数に対して１０進法以外で同様な現象が起こるのは，１０００未満では５進法，４０進法，１６０進法，６４０進法のときだけであることを加納幹雄が示した．

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【４】カプレカー数

　カプレカーの定数と似て非なるものにカプレカー数がある．カプレカー数とはｎ桁の数を２乗し，その数の右側からｎ桁の数と左側からｎまたはｎ−１桁の数を足すと元の数に戻る数である．混同しないように・・・

　９^2＝８１，８＋１＝９

　４５^2＝２０２５，２０＋２５＝４５

　２９７^2＝８８２０９，８８＋２０９＝２９７

　７０３^2＝４９２９０９，４９２＋２０９＝７０３

　４８７９^2＝２３８０４６４１，２３８＋４６４１＝４８７９

　１７３４４^2＝３００８１４３３６，３００８＋１４３３６＝１７３４４

　５３８４６１^2＝２８９９４０２４８５２１，２８９９４０＋２４８５２１＝５３８４６１

　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・の循環節（長さ６）：１４２７５８もカプレカー数となる．１４２８５７はレプユニットである１１でも１１１でも割り切れる．また，９，９９，９９９，９９９９もカプレカー数であり，このことは９の数が増えてもずっと成り立つ．もし，ｎ桁の数ｘがカプレカー数ならはｘ^2−ｘはｎ桁のレプユニット×９＝１０^n−１で割り切れる．

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