［Ｑ］不定方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，（ｘ，ｙ，ｚ）＝１はｘ，ｙのどちらか一方が２ｕｖ，他方がｕ^2−ｖ^2の形で，ｚがｕ^2＋ｖ^2の形をしているとき，そのときに限り満足されることを証明せよ．ただし，（ｕ，ｖ）＝１でｕｖは偶数．

［Ａ］ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2が成立したとすれば，ｘ，ｙのいずれかは偶数でなければならない．ｘがそうだとすれば

　　（ｘ／２）^2＝（ｚ＋ｘ）／２・（ｚ−ｘ）／２

しかも（（ｚ＋ｘ）／２，（ｚ−ｘ）／２）＝１．ゆえに，

　　ｘ／２＝ｕｖ，（ｚ＋ｘ）／２＝ｕ^2，（ｚ−ｘ）／２＝ｖ^2

となる整数ｕ，ｖが存在する．

　すべてのピタゴラス数が，

　　ｘ＝２ｕｖ，ｙ＝ｕ^2−ｖ^2，ｚ＝ｕ^2＋ｖ^2

のように表されることは，ｘ^2＋ｙ^2＝１上のすべての有理点が

　　（２ｔ／（１＋ｔ^2），（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2））

であることによっている．

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［Ｑ］不定方程式：ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4は整数解をもたないことを証明せよ．

［Ａ］ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2が成立したとすれば，ｘを偶数として

　　ｘ^2＝２ｕｖ，ｙ^2＝ｕ^2−ｖ^2，（ｕ，ｖ）＝１

と書ける．もしｕが偶数なら，ｙ^2＝４Ｎ＋１，ｕ^2＝４Ｎ1＋１，ｖ^2＝４Ｎ2，４Ｎ＋１＝４Ｎ1−４Ｎ2−２となって矛盾が起こるから，ｖは偶数である．

　ゆえに，ｕ＝ｚ1^2，ｖ＝２ｗ^2，ｙ^2＋４ｗ^4＝ｚ1^4，２ｗ^2＝２ｕ1ｖ1，ｕ1＝ｘ1^2，ｖ1＝ｙ1^2，ｘ1^4＋ｙ1^4＝ｚ1^2となるが，ｚ1＜ｚだからこれは不可能（ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^2が整数解をもたないことから，当然ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4も整数解をもたない）．

　次は，フェルマー予想

『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない』

の番である．

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　フェルマーが愛読した古代ギリシアのディオファントスによる本「アリスメティカ（算術）」の欄外の余白にこの書き込みをしたのは１６３７年頃で，たった８文字で書かれたこの単純な式はフェルマー予想と呼ばれ，人類の頭を悩まし続け，多くの高名な数学者がフェルマー予想に挑戦したにもかかわらずことごとくそれを退けてきました．フェルマー予想は３６０年ものあいだ未解決の数学的難問であったのですが，１９９４年，イギリス人で米国プリンストン大学の数学者ワイルズがその証明に成功し，かくして「予想」は「定理」となりました．難攻不落のフェルマー城はついに落城したのです．

　フェルマーの問題は，ｎ＝１のときにはｘ＋ｙ＝ｚという単なる足し算ですから，ｘとｙにどんな自然数を入れても自然数ｚは必ず存在します．ｎ＝２の場合はピタゴラス方程式と呼ばれ，無数の解をもち，しかもすべての解をもれなく求めることのできる公式も知られています．ｎ＝４の場合は，フェルマー自身が無限降下法という一種の背理法を用いて０と１の中間に整数が存在するという矛盾を導き出すことによって証明が与えられました．

　指数が３以上のフェルマー方程式については，ｎ＝３の場合はオイラー（１７７０年），ｎ＝５の場合はディリクレとルジャンドル（１８２５年），ｎ＝７の場合はラメ（１８３９年）によって証明が与えられ，それ以上のｎについては素数の場合だけを調べればよいのですが，初等的な方法では手続きが急速に複雑になって行き詰まりこれ以上進むことに限界がありました．

　個々のｎに対して攻略する時代はこれで終わり，あとは一般的なｎに対する攻略の道筋にまったく新しい方向性と理論を見いだす必要があったのです．最大のブレークスルーは１８５１年，クンマーによってなされました．クンマーは円分体の整数論の研究に専念し，正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立することを示したのです．正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂk の分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．

　１８５７年，クンマーはｎ≦１００のあらゆる場合に正しいことを証明し，１９３７年，ヴァンディヴァーはｎ≦６１７までこれを押し進めました．さらのコンピュータの助けを借りて，１９９１年にはｎ≦１００００００まで進みました．

　ワイルズは，フェルマーの定理の証明が一筋縄ではいかないことを実感して一時棚上げにしていたのですが，フライとリベットの結果にフェルマー攻略への道を確信し，研究室に７年間もこもって，彼独自のアイデアをもってとうとう証明に成功しました（１９９４年）．

　１９世紀の数学者クンマーはｘ^p−１＝０　（ｐ：素数）の複素数解を有理数につけ加えて，整数の概念を複素数まで拡張した円分体の整数という概念を導入することによって，フェルマーの予想を攻撃しそれに肉薄したのですが，ワイルズは楕円曲線を等分する点のつくる代数幾何学によってフェルマー予想を完全解決したことになります．

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