【１】ゴールドバッハの予想

　ゴールドバッハの第２予想：２ｎ＝ｐ＋ｐ

「２より大きいどんな偶数も，２つの素数の和として表すことができる」（１７４２年）は今日でも解決していない．

　ゴールドバッハの第１予想：２ｎ＋１＝ｐ＋ｐ＋ｐ

「５より大きいどんな奇数も，３つの素数の和として表すことができる」

は十分大きな奇数については成立することがヴィノグラドフにより示されている（１９３７年）．しかし，その値が大きすぎて全素数について成り立つかどうかはわかっていない．なお，第１予想で３つ目の奇数を３にすることで第２予想となることに注意されたい．

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【２】ド・ポリニャックの予想

　「１より大きいすべての奇数は２のベキと素数の和として表すことができる」は３から１２５までの奇数については成り立つが，１２７は反例となっている．

　「ｎを任意の偶数とするとき，相続く２つの素数ので差がｎとなる組は無数に存在する」（１８４９年）はｎ＝２すなわち双子素数予想ですら今日に至るまで証明も反証もされていない．

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