【１】有限体上の楕円曲線とＬ関数

　まず，整数を法ｐで考えた有限体Ｆpの上の３次方程式の群の位数について考察します．係数をＦpにもつ３次方程式

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）

を考えて，非特異であるための必要十分条件は，ｐ≠２，かつ，Ｆpの元として（ｍｏｄ　ｐで）

　　　２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０　　

です．

　一般論に進む前に，具体例を掲げておきましょう．有限体Ｆ5上の非特異３次曲線

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ｘ＋１＝ｆ（ｘ）

について，

　　ｆ（０）＝１（平方剰余）　→　ｙ＝±１

　　ｆ（１）＝３（平方非剰余）

　　ｆ（２）＝１１＝１（平方剰余）　→　ｙ＝±１

　　ｆ（３）＝３１＝１（平方剰余）　→　ｙ＝±１

　　ｆ（４）＝６９＝４（平方剰余）　→　ｙ＝±２

ですから，無限遠点を含めて９つの点が見つかります．可換群の構造が入るのは，有限体Ｆpにおいても同様で，この場合，位数９の可換群となります．

　一般のＦpについて，Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝を方程式：ｙ^2＝ｆ（ｘ）に代入してみましょう．すると

　　(1)ｆ（ｘ）＝０なら１つだけの解ｙ＝０がある．

　　(2)ｆ（ｘ）≠０ならｆ（ｘ）のとり得る０でない値の半分に対して，ｙとして２つの解がある．したがって，

　　Ｃ：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ＝ｆ（ｘ）

の有限体Ｆpにおける群の位数（元の個数）＃Ｅ（Ｆp）は，ｆ（ｘ）の値が平方と非平方に均等に分布していれば，およそｐ＋１個の点が期待できます．

　よって，解の個数は，

　　＃Ｅ（Ｆp）＝ｐ＋１＋（誤差項）＝ｐ＋１＋Ｍp

の形になることがわかります．

　　c(p)＝−Ｍp

で定義することにしますが，次の関数

　　L(s;Ｅ)=Π(1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s))^(-1)

を楕円曲線ＥのＬ関数といいます．

　この積Πは１１以外のすべての素数をわたるのですが，素数をまとめあげたものを「ゼータ」と呼ぶことにすると，２次のゼータになっていることがわかります．すなわち，歴史上最初のゼータであるオイラー積

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

は積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，Ｌ関数では，ｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しているのです．

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