ベルギーの数学者カタランは，カタラン数やカタランの立体（準正多面体の双対）でその名を知られています．１８４４年，カタランは方程式：

　　ｘ^p−ｙ^q＝１

の整数解が（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）＝（３，２，２，３）だけである，すなわち，８と９だけが唯一連続するベキ乗数であるということであると予想しました．

　　３^2−２^3＝１

ですが，それに証明を与えることはできませんでした．

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【１】カタラン予想の攻略

　ベルゲンは１３２０年頃，

　　３^p−２^q＝１

ならば（ｐ，ｑ）＝（２，３）であることを証明しました．

　１７３４年，オイラーは，

　　ｘ^2−ｙ^3＝１

ならば（ｘ，ｙ）＝（３，２）であることを示しました．

　ｐ＝２，ｑ＝３（オイラー，１７３８年），ｑ＝２（ルベーグ，１８５０年），ｐ＝３，ｑ＝３（ナゲル，１９２１年），ｐ＝４（セルバーグ，１９３２年），ｐ＝２（チャオ・コウ，１９６７年）などの研究があり，たとえば，ｘ^p−ｙ^2＝１は正の整数解をもたないというのがルベーグの定理です．

　１９７６年，テイデマンはベーカーの先駆的仕事をもとにして，カタランの方程式にはたとえ解があるにしても有限個の解しかなく，その場合（ｐ，ｑ）は１０^110より小さくなければならないことを証明しました．１９９９年，ミニョットは上限を１０^16，下限を１０^7の範囲まで大きく減らしました．

　オイラー以後，カタラン予想の一般的な証明は多くの数学者たちの挑戦を退けてきたのですが，２００２年，ミハイレスクがすべてを解決しました．ミハイレスクは（ｐ，ｑ）がヴィーフェリッヒ対でなければならないこと，そして，クンマーがフェルマー予想の証明の試みの中での発展させた「円分体の理論」を利用して，１５８年間進展の見られなかったこの問題の最後の穴をふさぐことができたのです．

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［補］ヴィーフェリッヒ素数

　フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となるが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがある．そのとき，ｐをヴィーフェリッヒ素数という．ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られている．

　なお，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られている．

［補］ヴィーフェリッヒの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である．

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Wieferich判定基準

［補］クンマーの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，

　　Ｂk＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Cauchy-Genocci判定基準

　　０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０

　正則素数ｐはＢp-3までのベルヌーイ数Ｂkの分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，クンマーの定理によって正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立すること，たとえば，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．非正則素数は無限に多く存在し，６９１も非正則素数のひとつです．そして，クンマーの定理を精密化したもの（詳しく正確にいったもの）は岩澤理論と呼ばれています．

　また，ｘ以下の非正則素数の数をＩ（ｘ）と記すと

　　Ｉ（ｘ）／π（ｘ）〜1-exp(-1/2)＝0.39346･･･

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【２】おまけ

　カタラン予想は，ワイルスがフェルマー予想を証明したときのほどの興奮はなく解かれました．

　なお，１９７５年，エルデスとセルフリッジは連続する整数の積は整数のベキでないこと，すなわち

　　ｙ^q＝ｘ（ｘ＋１）・・・（ｘ＋ｐ−１）

はすべてが＞１である整数解（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）をもたないことを証明しています．

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