星状領域の面積は、ｎ→∞のとき

　　　πＲ^2

これは長さ２Ｒの線分の中点を中心とする円の面積に等しい。

したがって、掛谷の問題で考えた星状領域のようなメリットはないことになる。

　また、星状領域を取り囲む円の面積は

　　π（２Ｒ-ｒ）^2

であるから、ｎ→∞のとき,

　　πＲ^2/π（２Ｒ-ｒ）^2→１/４

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【１】２ｎ-1尖点ペリトロコイドの面積

　２ｎ-1個の尖点をもつペリトロコイドは，パラメータθを用いて

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｎｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｎｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　θ（0、２ｎπ)

と記述されます．

θで微分すると

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

　ここで注意しなければならないことは，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことです．そのため，

　　Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄθ　　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2

として計算すると正しい値が得られません．

　計算方法はいくつか考えられるのですが，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

　　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝∫ｘｙ’ｄθ

　　Ｓ＝1/2∫（ｙｄｘ-ｘｄｙ）＝1/2∫（ｙｘ’-ｘｙ’）ｄθ

その結果，ペリトロコイドの面積は

　　Ｓ＝ｎ（ｎ−１）・πｒ^2

で表されることが計算されます．回転円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，

　　Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／ｎ^2・πＲ^2

となります．

　デルトイドの場合はｎ＝２，Ｒ＝２ｒですから

　　Ｓ＝２πｒ^2

となって固定円の面積の２倍に等しくなります．また，ｎ→∞のとき

　　Ｓ→πＲ^2

となって回転円の面積に近づきます．

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　　ペリトロコイド星状図形の面積は[π/8,π/4)であった。

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