（５−２√２）π／２４＝０．２８４２５８２２４６・・・

は掛谷の定数として知られている最良の値である。長さ１の線分を１８０°回転してもとと重ねることがその内部でできるような単連結な領域の最小の面積がその定数である。

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　１９１７年，掛谷宗一は「長さが１である線分を１回転させるのに必要な最小面積の図形は何か」という問題を提出しました．

　この問題は多くの予想を生み出しました．たとえば，デルトイドでは長さが一定の線分をデルトイドに接しながらスムーズに１回転させることができるので，掛谷はデルトイド（面積π／８）が「掛谷の問題」の解であると予想したのです．

　しかしながら，２ｎ＋１個の尖点と円弧をもち，図形全体が内接している円に直交している星状領域（面積：Ｓn）を考えると，ｎ→∞のとき

　　Ｓn→（５−２√２）π／２４＜π／１１

を示すことができます．この形はフーコーの振り子を何万回もらせたときの形になり，その面積はπ／１１よりも小さくなります．

　このようにして，単連結となる最小の星状領域は，面積π／８のデルトイドではなく，別の星状図形であることがブルームとシェーンベルグにより発見されました（１９６３年）．→コラム「デルトイドの幾何学（その２）」参照

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［まとめ］長さ１の線分を１８０°回転してもとと重ねることができるような単連結な領域の最小面積として知られている最良の値は

　　Ｓn→（５−２√２）π／２４（.2842582246･･･）＜π／１１（.285599）

であり，（５−２√２）π／２４は「掛谷定数」として知られています．

　なお、正三角形の中央をくりぬいたシェルピンスキーのガスケットは面積０の図形であるが、そのフラクタル次元は１．５８５である。立方体の中央をくりぬいたメンガーのスポンジは体積０の図形であるが、そのフラクタル次元は２．７３である。しかしながら…

　ベシコヴィッチ集合はあらゆる方向の針を含む面積０の図形であるが，そのフラクタル次元は２であることがディヴィスによって証明されている（１９７１年）．

　３次元空間のあらゆる方向の針を含む体積０の図形のフラクタル次元は３であると予想されている（カッツ、ラバ、タオにより２．５より大きいことが証明されている。２０００年）．

　一般に，ｎ次元空間のあらゆる方向の針を含む面積０の図形のフラクタル次元はｎであると予想されている．

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