【１】ｎ次元のマラルディー角

　２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．

　　ｃｏｓθ＝−１／２，θ＝１２０°

このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．

　また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ｃｏｓθ＝−１／３，θ＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．

　このように１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，正三角形ではｃｏｓθ＝−１／２，正四面体ではｃｏｓθ＝−１／３の右辺に現れる分母２，３がそれぞれ平面の次元の２，空間の次元の３と一致することは偶然ではありません．ｎ次元のマラルディの角は

　　ｃｏｓθ＝−１／ｎ

で与えられるのです．

　また，ｎ＝３の場合，正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなした．それでは正ｎ＋１胞体の頂点から中心に向かうｎ枚の膜（胞）が互いになす角度は？という問題を考えてみると，

　　ｃｏｓθ＝−１／（ｎ−１）

すなわち，ｎ＝３のときは１２０°，ｎ＝４のときは１０９．４７１°となることがわかる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝