（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．

（Ａ）ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　このことからもｆ3，ｆ4，ｆ5の少なくとも１つは０でない→多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならない，同様に，多面体の少なくとも１つの頂点は３次か４次か５次でなければならない→すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出される．これもオイラーが知っていた結果であるということである．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる（フラーレン）．

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体など）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体など）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（大菱形立方八面体など）

(5)多面体の面がすべてｆ3とｆ6であるならば，ｆ3＝４（切頂四面体など）

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　すなわち，球面を六角形と三角形で覆うとしたら，ちょうど４個の三角形が必要である．一般に，球面を六角形とｎ角形で覆うとしたら，ちょうどｋ＝１２／（６−ｎ）個のｎ角形が必要である．ｎ＝３，４，５のとき，

　　ｋ＝１２／（６−ｎ）＝４，６，１２

であるが，これは正多面体の面数と同じである．これらの結果は極めて重要で，四色定理の証明の中核をなしている．

　ここで，各頂点に同数の辺と２種類の面が集まるという制約を課したアルキメデス立体について，オイラーの公式を再訪してみよう．

　　ｐ1Ｆ1＋ｐ2Ｆ2＝ｑＶ＝２Ｅ

　　Ｆ＝Ｆ1＋Ｆ2＝２＋（ｑ／２−１）Ｖ

これより，

　　Ｆ1＝（２ｐ2＋（ｑ／２−１）ｐ2−ｑ）Ｆ2）／（ｐ2−ｐ1）

　ｑ＝３，ｐ1＋５，ｐ2＝６　→　Ｆ1＝１２＋０Ｆ2＝１２

より，五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個あることが示される．

　同様に，ｑ＝３のとき，

［１］４個の三角形は任意個の六角形と組み合わせて多面体（正四面体，切頂四面体など）を作ることができる

［２］６個の正方形は任意個の六角形と組み合わせて多面体（立方体，切頂八面体など）を作ることができる

　ｑ＝４のとき，

［３］８個の三角形は任意個の正方形と組み合わせて多面体（立方八面体など）を作ることができる

　Ｆ←→Ｖ，ｐ←→ｑを置き換えると，１種類の多角形と２種類の頂点をもつアルキメデス立体についてのオイラーの公式が導かれる．

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