正多角形は無限に多く存在しますが，それでは，「互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？」

この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます．

　正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角ですから，

　　２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＝１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．

　２次元の平面の中に正多角形は無限に多くあるのに反して，３次元の空間には無限に多くの正多面体は存在しません．平面充填形は，面数が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますが，平面充填形の場合と同様にして，正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満ですから，不等式

　　２ｑ（１−２／ｐ）＜４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　（ｐ−２）（ｑ−２）＜４

が正多角形となる必要条件です．このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic soliod）とも呼ばれています．

【問】３種類の平面充填形のうち，どの隣接する２面も同じ色でないように，黒と白の市松模様に塗ることができるのはどれか？

（ヒント）これが可能なためには，１つの頂点で偶数の面が交わらなければならない．すなわち，ｑは偶数．

【問】プラトン立体のうち，どの隣接する２面も同じ色でないように，黒と白で塗ることができるのはどれか？

（答）正八面体

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　以上は，平面（空間）を合同な多角形で埋めることを考えたものですが，次に，三角形Ｐ（黒塗り）とそれを裏返した三角形Ｑ（白塗り）の２つを交互に並べて，平面全体をタイル張りすることを考えます．たいていの場合は途中でタイル同士が重なってしまいますが，うまくいくと市松模様のタイル張りができあがります．

【問】Ｐがどのような形のとき，このようなタイル張り（平面の市松模様三角形タイル張り）が可能であろうか？

（答）これが可能なためには，１つの頂点で偶数個の３角形が交わらなければならないので，これを２ａとおく．また，その頂点の角度をαとおくと，頂点を一回りしたので，２ａα＝２π．ゆえに，

　　α＝π／ａ　　　ただし，ａは２以上の自然数．

　まったく，同様に残り２つの内角に対しても

　　β＝π／ｂ，γ＝π／ｃ

　また，α＋β＋γ＝πより

　　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＝１

　この等式を満たす（ａ，ｂ，ｃ）の組は非常に少ない．便宜上，ａ≧ｂ≧ｃとすると

　　（３，３，３）　→　正三角形

　　（４，４，２）　→　直角二等辺三角形

　　（６，３，２）　→　３０°，６０°，９０°の三角形

の３種類が得られる．

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