（問）互いに平行な２つの円形の枠に石けん膜を張ったとき，その形は？

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（答）この問題は「y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積を最小にしたい」と等価です．曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられます．懸垂線（カテナリー）の問題を変分法によって解いたのはベルヌーイであったのですが，これは懸垂線で考えた位置エネルギーの２π倍ですから，解は懸垂線を回転させたものであることが導かれます．

f(x)=cosh(αx)/α が解である

ただし,x>0におけるy=coshx/xの最小値はおよそ1.5088である．したがって，この値よりもyが小さかったら解はない．1.5088=1/0.6627

針金でできた半径１の２つの輪があるとき，その間隔が１．３２５４よりも小さければカテノイドができ，大きければできない．

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　懸垂線は与えられた２点を両端とする一定の長さの曲線を，ｘ軸を軸として回転させたときにできる曲面の表面積を最小にする曲線であることがわかります．カテナリーを準線のまわりに回転させてできる曲面は懸垂曲面（カテノイド）と呼ばれます．なお，カテノイドは，唯一の回転極小曲面であることも示されています．懸垂面は極小曲面（表面積最小曲面）の重要な例ですが，常螺旋面（ヘリコイド）など，極小曲面については非常に多くの例と結果が知られています．ヘリコイドとカテノイドは第２基本形式は異なるものの第１基本形式はまったく同じです．

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