もし雨粒が水滴でなくダイヤモンドでできていたとしたら，虹はまったく変わったものになるという．

このことについて正確に説明するためには微積分が必要になってくる．

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【１】主虹と副虹

　水滴に入射した太陽光線は屈折し，水滴の後面で全反射を受けて，でるときに再び屈折する．光線の入射角と出射角との差を虹角というが，虹は赤色光線では屈折が小さく，紫色光線では大きいために虹角が開くために起こる現象である．

　赤色光線の虹角は４２°４２’，紫色光線は４０°３２’の角度をなすから，２°１０’の視角のなかに，上から赤・橙・黄・緑・青・藍・紫の順に配列した弧状の色帯として見える．太陽や月の視直径は約３０’であるから，虹の幅は太陽（月）４個分に相当する．

　また，主虹の外側にもうひとつ副虹が見える．副虹は二度全反射を受けるために生ずるものであって，赤色光線では４９°４６’，紫色光線では５３°４６’であるから，４°の視角のなかに，主虹と色の順序が逆順の虹を張る．副虹は水滴の内部で主虹より１回多く全反射を受けた光によって形成されるので，主虹ほど色は強くなく，見えないこともしばしばである．

　虹は雨上がりのときに，太陽を背にして反対側の空に見えるものである．すなわち，朝なら西の空，夕方なら東の空に見える．それでは，水滴の中で３回以上の多重反射を受けた場合はどうなるのであろうか？　実は，３回反射，４回反射した場合，光は水滴の反対側に進んで行くから，夕方なら西の空にうすい３次の虹，４次の虹が存在するはずなのだが，実際には太陽光線が雨滴に遮られるために見えない．５回反射，６回反射のときは，主虹・副虹の方向にくるが，多重反射による減衰が加わって見えないのでである．

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【２】幾何光学的理論

　主虹では外側から内側に赤・橙・黄・緑・青・藍・紫の順に見え，その外側に，色の配列が主虹と逆順の副虹がうすく見える．主虹は水滴の中で１回反射した虹，副虹は２回反射の虹である．主虹と副虹の間が，アレクサンダー暗帯である．デカルト・ニュートンの虹の古典論によると，ここに反射してくる光はまったくない．

　このことを幾何光学的に調べることにしよう．水滴の半径を１，屈折率をｎ，入射光線と水滴の中心との距離をａ，反射光線と入射光線の間の角度（虹角）をθとすると，平面幾何学的に，１回反射の虹では

　　θ＝４ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）−２ａｒｃｓｉｎ（ａ）

２回反射の虹では

　　θ＝−４ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）＋２ａｒｃｓｉｎ（ａ）＋π

となることが示される．

　一般に，奇数回反射した場合は

　　θ＝２（ｒ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）−２ａｒｃｓｉｎ（ａ）

偶数回反射した場合は

　　θ＝−２（ｒ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）＋２ａｒｃｓｉｎ（ａ）＋π

となる．

　散乱角θをａで微分すると

　　ａ＝√（４−ｎ^2）／３　　　（主虹）

　　ａ＝√（９−ｎ^2）／８　　　（副虹）

でθは最大になる．

　ｎ＝４／３とおくと，主虹はａ＝０．８６で最大値４２°，副虹はａ＝０．９５で最大値５１°をとるが，どちらからの散乱光もまったくやってこない領域が主虹と副虹の間で，この領域がアレクサンダー暗帯である．

　また，もっと丁寧に考察するならば，

　　ｄθ／ｄａ＝２（−３ａ^2−ｎ^2＋４）／√（ｎ^2−ａ^2）√（１−ａ^2２（√（ｎ^2−ａ^2）＋√（１−ａ^2））

より，ｎ＞２の場合にはｄθ／ｄａ＜０より包絡線が存在しないので，主虹は存在しないことも理解される．

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ダイヤモンドの屈折率２．４は，水（１．３〜４／３）やガラス（１．５〜３／２）に比べて非常に高いので，大きな角度で屈折する．ダイヤモンドの表面に対して２４°以上の角度で入射した光線は完全に反射されることになる．（水の場合は４８°，ガラスの場合の４２°である）

　水（屈折率≒４／３）であっても，ガラス（屈折率≒３／２）であっても虹はできるのであるが，反射する球体の屈折率が２以上の場合，たとえばダイヤモンド（屈折率＝２．４２）の場合，虹のできる様子は水滴の場合とはかなり異なってくる．どのような透明体であっても差し支えないわけではなく，水の屈折率が１．３程度であったおかげで，われわれは美しい虹を見ることができるのである．

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