差分体とは

　　Ｋ~＝１／２（Ｋ＋（−Ｋ））

のことである．

　３次元差分体の体積は，円錐，四角錐の別に関わらず，常に７／４倍となる．同様に，２次元差分体の体積は３／２倍になるが，一般にｎ次元では

　　（２^n−１）／２^n-1

倍になるのだろうか？

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【１】ブルン・ミンコフスキーの不等式

　一般のｎ次元図形に対してもミンコフスキー和の不等式

　　｜Ａ＋Ｂ｜^1/n≧｜Ａ｜^1/n＋｜Ｂ｜^1/n

が成立する（平面図形の場合はｎ＝２）．等号成立はＡとＢは相似の位置にあるか，またはＡはＢの平行移動であるときである．

　　Ｋ~＝１／２（Ｋ＋（−Ｋ））

に対してブルン・ミンコフスキーの不等式を適用すると，

　　｜Ｋ＋（−Ｋ）｜^1/n≧｜Ｋ｜^1/n＋｜−Ｋ｜^1/n＝２｜Ｋ｜^1/n

　　｜Ｋ~｜＝１／２^n・｜Ｋ＋（−Ｋ）｜

したがって，

　　｜Ｋ~｜≧｜Ｋ｜

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【２】まとめ

　　ｎ＝２のとき，３／２≧１

　　ｎ＝３のとき，７／４≧１

を保証してくれるが，粗い不等式であって，

　　（２^n−１）／２^n-1

の正否は評価できないのである．

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