日本の国土をＡ，半径ｒの円板をＢとして，陸地の各点にこの円板を貼り付けることによって定まる領域がＡ＋Ｂである．すなわち，陸地からの距離がｒ以下の海の部分を陸地に加えた領域がミンコフスキー和Ａ＋Ｂである．今回のコラムでは，Ａ，Ｂ，Ａ＋Ｂの３つの面積の関係を述べたブルン・ミンコフスキーの不等式を紹介する．

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【１】ブルン・ミンコフスキーの不等式

　冒頭では平面での場合を述べたが，一般のｎ次元図形に対しても不等式

　　｜Ａ＋Ｂ｜^1/n≧｜Ａ｜^1/n＋｜Ｂ｜^1/n

が成立する（平面図形の場合はｎ＝２）．等号成立はＡとＢは相似の位置にあるか，またはＡはＢの平行移動であるときである．

　また，２つの凸図形Ｋ0，Ｋ1が与えられたとき，Ｋ0からＫ1への連続変形

　　Ｋt＝（１−ｔ）Ｋ0＋ｔＫ1　　　（０≦ｔ≦１）

においては

　　｜Ｋt｜^1/n≧（１−ｔ）｜Ｋ0｜^1/n＋ｔ｜Ｋ1｜^1/n

が成り立つ．

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【２】凸体の点対称化

　凸体Ｋを原点の周りで１８０°回転させて得られる図形を−Ｋあるいはｒｏｔ（Ｋ）で表す．Ｋに対して点対称化図形Ｋ~を

　　Ｋ~＝１／２（Ｋ＋（−Ｋ））

で定義する．図形−Ｋの原点を図形Ｋの境界に沿って動かすときのミンコフスキー和であるが，前述した−ＫからＫへの連続変形のｔ＝１／２の場合であり，図形Ｋが四角形のときＫ~は八角形，Ｋが四面体のときＫ~は立方八面体状図形になる．

　このとき，

　　｜Ｋ｜≦｜Ｋ~｜

が成り立つ（等号成立は−ＫがＫの平行移動であるとき）．

　また，Ｋが２次元図形であれば周長と直径は不変である．

　　Ｌ（Ｋ）＝Ｌ（Ｋ~），Ｄ（Ｋ）＝Ｄ（Ｋ~）

３次元図形であれば直径は不変である．

　　Ｄ（Ｋ）＝Ｄ（Ｋ~）　　（表面積は不変ではない）

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