黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２

のはいった計算では，式の上では違ったように見えても同じ値をとることはしばしば経験されます．たとえば，

［Ｑ］ペンタグラムの内側の正五角形の１辺の長さは，外側の正五角形形の１／φ^2＝（√５−１）^2／４＝０．３８倍，面積は１／φ^4＝０．１４５倍である．では

［Ａ］外側の正五角形の１辺の長さを１とすると，対角線の長さはφ．ここで，内側の正五角形の１辺の長さをｘとおくと

　　（１−ｘ）＋ｘ＋（１−ｘ）＝２−ｘ＝φ

　　ｘ＝２−φ

となって，

　　１／φ^2＝（√５−１）^2／４

になるようには見えませんが，実際に計算してみると

　　ｘ＝２−φ＝（３−√５）／２＝（６−２√５）／４＝（√５−１）^2／４となって両者は一致します．

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　黄金比φを公比とする等比数列

　　１，φ，φ^2 ，φ^3，φ^4 ，φ^5 ，・・・

を考えると，１＋φ＝φ^2ですから

　　φ^2＝φ＋１

　　φ^3＝φ^2φ＝φ^2＋φ＝２φ＋１

　　φ^4＝φ^3φ＝２φ^2＋φ＝３φ＋２

　　φ^5＝φ^4φ＝３φ^2＋２φ＝５φ＋３

とするのと同じ要領で次数を低下させます．なお，黄金比φには多く性質があり，ここで，ガウス記号［ｘ］（ｘを超えない最大の整数）を用いると，数列｛［φ^n-1］｝の各次数に対応して得られる整数列は

　　１，１，２，３，５，８，１３，・・・

すなわち，フィボナッチ数列｛Ｆn｝となります．

　これと同じことを１／φ，１／φ^2，１／φ^3，１／φ^4にも施したら，フィボナッチ数列は現れるのでしょうか？

　　１／φ＝φ−１

　　１／φ^2＝１−１／φ＝−φ＋２

　　１／φ^3＝−１＋２／φ＝２φ−３

　　１／φ^4＝２−３／φ＝−３φ＋５

　　１／φ^5＝−３＋５／φ＝５φ−８

負号はつきますが，フィボナッチ数列となるようです．

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