【１】n=4

【２】n=2と置いてみる

x=2cos(4t-θ)+4cos{2t+θ}-16sin(t-θ)+2cos3θ

y=-2sin(4t-θ)+4sin{2t+θ} -16cos(t-θ)+2sin3θ

[Ｘ]=[cosθ,-sinθ][ｘ]+[acosθ]

[Ｙ]=[sinθ, cosθ][ｙ]＋[asinθ]

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やはりこのままでは使いにくい・・・

包絡線

X=(n-2)cos(nt-θ)+ncos{(n-2)t+θ}-2n(n-2)sin(t-θ)+2cos(n-1)θ

Y=-(n-2)sin(nt-θ)+nsin{(n-2)t+θ} -2n(n-2)cos(t-θ)+2sin(n-1)θ

において，

m=n-2

θ=(n-2)t/m+(2k+1)π/m, t=[0,2π/(n-1)], k=0,1,・・・,m-1とおくと直線部分が，

θ=-nt/m+(2k+1)π/m , t=[2π-π/(n-1),2π], k=0,1,・・・,m-1とおくと曲線部分が得られる．

n=4, m=2, k=0

θ=π/2+tとおくと，X=16, Y=4cos(t)　　　(直線), t=[0,2π/3]

θ=π/2-2tとおくと，X=16cos(3t), Y=4-16sin(3t),t=[2π-π/3,2π]

X^2+(Y-4)^2=16^2　　　(円)

すなわち，ｎ＝４のとき，半径16の半円を長さ８の線分で補間した形状を備えている（２つの円を半径の半分だけずらしたものである）ことが確かめられる．

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n=4, m=2, k=1

θ=3π/2+tとおくと，X=-16, Y=- 4cos(t)　　　(直線), t=[0,2π/3]

θ=3 π/2-2tとおくと，X=-16cos(3t), Y=-4-16sin(3t),t=[2π-π/3,2π]

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これでｔだけの関数になった。あとは

[Ｘ]=[cosθ,-sinθ][ｘ]+[acosθ]

[Ｙ]=[sinθ, cosθ][ｙ]＋[asinθ]

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x=16, y=4cos(t)の場合、

X=16cosθ-4sinθcost+acosθ

Y=16sinθ+4cosθcost+asinθ

その包絡線を得るために

(∂Y/∂t)(∂X/∂θ)-(∂X/∂t)(∂Y/∂θ)=0

を計算する．

∂X/∂θ=-16sinθ-4cosθcost-asinθ

∂Y/∂θ=16cosθ-4sinθcost+acosθ

∂X/∂t=4sinθsint

∂Y/∂t=-4cosθsint

16sintcost=0,t=αを(X,Y)に代入して整理する

sin2t=0, t=[0,2π/3],t=0,t=π

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x=16cos(3t), y=4-16sin(3t)の場合、

X=16cosθ・16cos(3t)-4sinθ(4-16sin3t)+acosθ

Y=16sinθ・16cos(3t)+4cosθ(4-16sin3t)+asinθ

その包絡線を得るために

(∂Y/∂t)(∂X/∂θ)-(∂X/∂t)(∂Y/∂θ)=0

を計算する．

∂X/∂θ=-256sinθcos(3t)-4cosθ(4-16sin3t)-asinθ

∂Y/∂θ=256cosθcos(3t)-4sinθ(4-16sin3t)+acosθ

∂X/∂t=-768cosθsin3t+192sinθcos3t

∂Y/∂t=-768sinθsin3t-192cosθcos3t

196608sin3tcos3t+768asin3t+768cos3t(4-16sin3t)=0

256sin3tcos3t+asin3t+cos3t(4-16sin3t)=0

240sin3tcos3t+asin3t+4cos3t=0

t=[5π/3,2π]

たとえば

a=60ならば

(60sin3t+1)(4cos3t+1)=1

t=αを(X,Y)に代入して整理する

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3t=[5π,6π],sin3t<0,x=cos3t,sin3t=-(1-x^2)^1/2

-240x(1-x^2)^1/2-a(1-x^2)^1/2+4x=0

-(240x+a)(1-x^2)^1/2=-4x

(240x+a)^2(1-x^2)=16x^2

4次方程式を解く必要がある

たとえば、a=16のとき

16^2(15x+1)^2(1-x^2)=16x^2

16(225x^2+30x+1)(1-x^2)=x^2

-16x^2(225x^2+30x+1)+16(225x^2+30x+1)=x^2

-16・225x^4-30・16x^3-16x^2+16・225x^2+16・30x+16=x^2

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