θ=π/n、m=(n-1)/2として、掛谷定数の計算をリパラメトライズしておきたい。

ｎ芒星では三角おむすび状の図形がｎ個出現する。

原点からお結びの頂点までの距離をrとすると、おむすびの頂点は(x,y)=(rcosθ,rsinθ)

また、弧の半径をRとする。

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)で接線をひくとR=tan(mθ)=cot(θ/2)として,その中心は(1,R)となることがわかる

Rsinθ=2{cos(θ/2)}^2

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(x-1)^2+(y-R)^2=R^2とy=tanθ・xの交点が(rcosθ,rsinθ)であるから

ｒはr^2cosθ^2-2rcosθ+1+r^2sinθ^2-2Rrsinθ+R^2=R^2の解

r^2-2r(cosθ+Rsinθ)+1=0

r=cosθ+Rsinθ-{(cosθ+Rsinθ)^2-1}^1/2

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S1=1/2・(tanθ-θ)

S2=1/2・(1-rcosθ)・(R-tanθ)

S3=1/2・R^2arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}

おむすびの面積は

S4=(S3-S1-S2)x2となる

S=π-ｎS4

L=1+r

S/L^2→?

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S1→1/2・(θ^3/3+・・・)→0

n・S1→ｎ/2・(θ^3/3+・・・)→0

S2→1/2・(1-r)・(R-tanθ))

n・S2→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・(n・tanθ)→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・π

n・tanθ→π

S3→1/2・R^2arctan{(1-r)/(R)・{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}

=1/2・R^2・{(1-r)/(R)・{{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}-1/3{(1-r)/(R)}^3{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}^3+・・・}

=1/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)(rsinθ)+1/2・(1-r)(rsinθ)^2/R・・・-1/6・(1-r)^3/R+・・・}

n・S3→n/2・(1-r)・R+n/2・(1-r)(rsinθ)-n/6(1-r)^3/R+・・・→n/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)rπ-1/12・(1-r)^3π+・・・

n・sinθ→π

n/R→π/2

r→3-√8

n・(S3-S1-S2)→1/2・(1-r)(1+r)π-1/12・(1-r)^3π =1/12・(1-r){6(1+r)-(1-r)^2}=1/12・(1-r){5+8r-r^2}π

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2nS4=1/6・(1-r){5+8r-r^2}π→1/6・(-2+√8)(12-2√8)π

S=π-2nS4=1/6・(6-(-40+16√8)=1/6・(46-16√8)

S/L^2=S/(4-√8)^2=S/(24-8√8)=1/24・(5-2√2)

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弧の中点における接線の長さを求めておきたい

弧の中点までの距離は

L=(1+R^2)^1/2-R=1/cosmθ-tanmθ=(1-sinmθ)/cosmθ

弧の中点は(Lcosmθ,Lsinmθ)

接線の方程式は

y=-1/tanmθ(x-Lcosmθ)+Lsinmθ=-1/tanmθ・x+Lcosmθ/tanmθ+Lsinmθ

=-1/tanmθ・x+L/sinmθ

=-1/R・x+L/sinmθ

(x-1)^2+(y+R)^2=R^2

x^2-2x+1+y^2+2Ry=0

x^2-2x+1+(-1/R・x+L/sinmθ)^2+2R(-1/R・x+L/sinmθ)=0

x^2-2x+1+(1/R)^2・x^2-2L/(Rsinmθ)・x+(L/sinmθ)^2 -2・x+2LR/sinmθ=0

との交点は

x^2{1+(1/R)^2}+

x{-4-2L/(Rsinmθ)}

+1+(L/sinmθ)^2+2R(L/sinmθ)=0

x^2{1/(sinmθ)^2}+

x{-4-2L/(Rsinmθ)}

+1+(L/sinmθ)^2+2R(L/sinmθ)=0

の小さいほうで計算される

弧の長さは2((x-Lcosmθ)^2+(y-Lsinmθ)^2)^1/2

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R=tan(mθ)=cot(θ/2)

sinmθ=cosθ,cosmθ=sinθ

L=(1-cosθ)/sinθ=tan(θ/2)

L/R→tan(θ/2)/cot(θ/2)→0

LR→tan(θ/2)/tan(θ/2)→1

A=1/(sinmθ)^2→1

-B=-{-2-L/(Rsinmθ)}→2

B^2-AC{-2-L/(Rsinmθ)}^2-1/(sinmθ)^2(1+(L/sinmθ)^2+2R(L/sinmθ)}→4-2

x=2-√2

y=0

n→∞のとき

弧の長さの2乗は4(2-√2)^2=4(6-4√2)に収束する

これは(1+r)^2に等しい→S/L^2=1/24・(5-2√2）

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