■積公式の比較(その7)

 (その6)を高次化してみたい.

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  sinx=8sinx/4cos^3x/4−4sinx/4cosx/4

=4sinx/4cosx/4{2cos^2x/4−1}

=4sinx/4cosx/4{1+√2cosx/4}{−1+√2cosx/4}

=4sinx/4cosx/4{1+√2cosx/4}{−1+√2cosx/4}

sinx/4=4sinx/4^2・cosx/4^2{1+√2cosx/4^2}{−1+√2cosx/4^2}

 したがって,

sinx=

=4^2sinx/4^2・cosx/4^2cosx/4{1+√2cosx/4}/4{1+√2cosx/4^2}{−1+√2cosx/4}{−1+√2cosx/4^2}

=・・・・・

=4^ksinx/4^k・Πcosx/4^kΠ{1+√2cosx/4^k}Π{−1+√2cosx/4^k}

 k→∞のとき,limsinx/4^k/(x/4^k)

=1/x・lim4^ksinx/4^k=1

  lim4^ksinx/4^k=x

また,|−1+2cos^2x/4^k|≦1より

  limΠ(−1+2cos^2x/4^k)=1

 以上より,

  sinx/x=Πcosx/4^k

が示される.

 予想通りであるが,

  limΠ(−1+2cos^2x/4^k)=1

が少し怪しい気もする.

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