ｎ＝△＋△＋△・・・任意の自然数は高々３個の三角数の和として表すことができる．

　ここでは三角数と平方数，立方数，４乗数の間の奇妙な関係を調べてみたい．

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［１］三角数の平方の差は立方数である．

　Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）／２とおくと

　　Ｔn^2−Ｔn-1^2＝ｎ^3

［２］三角数はそれ自身の平方と前後の三角数の積の差に等しい．

　　Ｔn^2−Ｔn-1Ｔn+1＝ｎ（ｎ＋１）／２

［３］４乗数はすべて２つの三角数の和として表すことができる．

　　２^4＝Ｔ1＋Ｔ5

　　３^4＝Ｔ5＋Ｔ11

　　４^4＝Ｔ11＋Ｔ19

　　５^4＝Ｔ19＋Ｔ29

　　６^4＝Ｔ29＋Ｔ41

　　７^4＝Ｔ41＋Ｔ55

［４］三角数の数列の和

　　Ｔ1＋Ｔ2＋Ｔ3＝Ｔ4

　　Ｔ5＋Ｔ6＋Ｔ7＋Ｔ8＝Ｔ9＋Ｔ10

　　Ｔ11＋Ｔ12＋Ｔ13＋Ｔ14＋Ｔ15＝Ｔ16＋Ｔ17＋Ｔ18

　　Ｔ19＋Ｔ20＋Ｔ21＋Ｔ22＋Ｔ23＋Ｔ24＝Ｔ25＋Ｔ26＋Ｔ27＋Ｔ28

　　Ｔ29＋Ｔ30＋Ｔ31＋Ｔ32＋Ｔ33＋Ｔ34＋Ｔ35＝Ｔ36＋Ｔ37＋Ｔ38＋Ｔ39＋Ｔ40

［５］平方数の数列の和

　　３^2＋４^2＝５^2

　　１０^2＋１１^2＋１２^2＝１３^2＋１４^2

　　２１^2＋２２^2＋２３^2＋２４^2＝２５^2＋２６^2＋２７^2

　　３６^2＋３７^2＋３８^2＋３９^2＋４０^2＝４１^2＋４２^2＋４３^2＋４４^2

　３，１０，２１，３６，・・・は三角数をひとつ置きにとったものである．４，１２，２４，４０，・・・は三角数の４倍である．一般に

　　｛ｎ（２ｎ＋１）｝^2＋・・・＋｛２ｎ（ｎ＋１）｝^2＝｛２ｎ^2＋２ｎ＋１｝^2＋・・・＋｛２ｎ^2＋３ｎ｝^2

　なお，

　ｎ＝□＋□＋□＋□・・・任意の自然数は高々４個の四角数（平方数）の和として表すことができる．以下，

　任意の自然数は高々５個の五角数の和として表すことができる

　任意の自然数は高々６個の六角数の和として表すことができる・・・と続く．

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