【１】整数の三角数分割

　三角数とは

　　０，１，３，６，１０，１５，２１，２８，・・・，ｋ（ｋ＋１）／２

のことですが，三角数定理（ガウス，１７９６年）をシンボリックに書くと

　　ｎ＝△＋△＋△，△＝ｋ（ｋ＋１）／２

すなわち「すべての整数は３つの三角数の和によって表し得る」について，簡単な数値実験から始めることにしましょう．

　ｎを越えない最大の三角数をとり，その残りに対して同様に最大の三角数をとる，・・・，そして残りが三角数になるとおしまいというアルゴリズムによって，３個の三角数の和

　　ｎ＝△＋△＋△

に分解できるように思われます．はたして，これは正しいのでしょうか？

　　　１＝１

　　　２＝１＋１

　　　３＝３

　　　４＝３＋１

　　　５＝３＋１＋１

　　　６＝６

　　　７＝６＋１

　　　８＝６＋１＋１

　　　９＝６＋３

　　１０＝１０

　　１１＝１０＋１

　　１２＝１０＋１＋１

　　１３＝１０＋３

　　１４＝１０＋３＋１

　　１５＝１５

　　１６＝１５＋１

　　１７＝１５＋１＋１

　　１８＝１５＋３

　　１９＝１５＋３＋１

　　２０＝１５＋３＋１＋１

　　２１＝２１

　　２２＝２１＋１

　　２３＝２１＋１＋１

　　２４＝２１＋３

　　２５＝２１＋３＋１

　　２６＝２１＋３＋１＋１

　２０や２６では４個の三角数の和となり，このアルゴリズムは２０で破綻してしまいます．しかし，これらは

　　２０＝１５＋３＋１＋１＝１０＋１０

　　２６＝２１＋３＋１＋１＝１５＋１０＋１

のように，より少ない数の三角数和として幾通りかに表すことのでき，すべての正の整数は３個の三角数の和の形に表すことができるというのがガウスの定理です．

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【２】三角数定理の証明

　ガウスは１７９６年の日記に「わかった！　ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味で，ｍ＝３の場合についての証明に相当します．

　ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いると「ｎ＝△＋△＋△」を簡単に示すことができます．

（証明）４^k（８ｎ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１，ｚ＝２ｒ＋１とおくと

　　ｎ＝ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２＋ｒ（ｒ＋１）／２

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