２次元凸多角形に対するオイラー・ポアンカレの定理は，

　　ｖ−ｅ＝０ ですから，ｎ角形は必然的にｎ辺形になります．四角形は四辺形（たとえば平行四辺形）とも呼びますが，三角形に対して三辺形いう言葉はあまり耳にしません．たとえば，二等辺三角形とはいっても，二等辺三辺形とはいわないでしょう．

　私はこれまで「ｎ角形はｎ辺形である」，すなわち，

　　ｖ−ｅ＝０

をまともに取り上げている数学書はみたことがありませんが，ｎ角形はｎ辺形であるとはいっても，読者はオイラー・ポアンカレの定理のありがたみを実感し「なるほど立派な定理だ」と思うでしょうか？　おそらく，何だか当たり前のことを大袈裟にいっていると感じるだけでしょう．なかには，そんなことはサルでも知っているといって怒り出す人もいるかも知れません．

　実際，各辺の両端には頂点が１つずつありますから，この定理は自明なのですが，それを３次元に拡張したとたんに自明ではなくなります．

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

は，もはや，サルでも知っている定理とはいえないでしょう．

　また，二次元における正多角形，三次元における正多面体と同じ概念が，四次元における正多胞体で，正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類あります．胞の個数をｃで表すと，４次元空間では，

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０

というオイラー・ポアンカレの定理が成り立ちます．さらに，これらの位相不変量は５次元以上に対しても敷衍していくことができるのです．

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｇ＋ｈ−ｉ＋・・・＝１±１

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