楕円ではＦ1Ｐ＋Ｆ2Ｐ＝一定であり片方の焦点から出た光線は楕円上で反射して第２の焦点に向かうとか，双曲線ではＦ1Ｐ−Ｆ2Ｐ＝一定で片方の焦点から出た光線が表面にあたって反射するとあたかも第２の焦点から出たように反射するとか，放物線の焦点を出た光は曲線上で反射して曲線の対称軸に平行に進むという幾何光学的特徴はすでにご存知であろうと思います．

　凸レンズでも凹面鏡でもよいのですが，太陽光線を焦点に集めて紙を燃やした経験は誰にもあるものでしょう．ところが，レンズも凹面鏡も放物面ではないので，光は正確に１点に集まるわけではありません．理想的な場合，焦点では光が１点に集まりますが，焦線（コースティック，caustic）とは点ではなくて線をなす場合をいいます．

　直線の集まりのことを数学的には包絡線というのですが，光学分野では焦線あるいは火線という名で呼びます．焦線の例としては，陽のよく当たる窓辺にコーヒーカップをもっていって，カップの底を覗いてみて欲しいのですが，そこには，コーヒカップの中に太陽光が当たってできるハートマーク状のカスプ（Ａ2型のクライン特異点，２次元の単純特異点）をもつ６次曲線：

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１２（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４８ｘ^2−６０ｙ^2−６４＝０

が見えるはずです．この６次曲線は腎臓型曲線（ネフロイド）と呼ばれます．

　回転円（半径ｒ）が固定円（半径Ｒ）に接して滑ることなく転がっていくとき，回転円の周上の点の軌跡を考えます．回転円が固定円に外接するとき，その軌跡をエピサイクロイド，内接するとき，ハイポサイクロイドと呼びます．Ｒ／ｒ比が無理数ならば，回転円上の１点ａが固定円上の１点ｂと接した後，円が永久に転がり続けたとしても，両者は再び接することはありませんが，有理数ならば有限回の回転の後再び接します．

　整数ならば，ちょうど１回転後に再び接することになりますが，Ｒ＝ｎｒ（ｎは自然数）の場合，エピサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｒｃｏｓθ−ｒｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ＋１）θ

で与えられます．たとえば，固定円と回転円の半径が等しい場合（ｎ＝１），エピサイクロイドは心臓型曲線（カージオイド）を描きます．

　腎臓型曲線（ネフロイド）は平行光線が円の内側で反射されるときの包絡線で，ｎ＝２の場合にあたります．したがって，半径Ｒの凹面鏡の球心を中心とする半径Ｒ／２の円上を滑ることなく転がる半径Ｒ／４の円の接点の軌跡であり，ネフロイドの特異点は凹面鏡の球心と鏡面のちょうど中間，凹面鏡の球心からＲ／２の位置にできることになります．

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