紙の上に鉛筆で閉曲線を描く．その際，自分自身と交差すること，また，交点では２個以上の弧が交わってもよいことにする．次に，閉曲線から得られた地図に色を塗るのだが，ある国を黒く塗りつぶし，国境線で隣り合う国はそのままにしておく．

　その結果は市松模様となるが，これは偶然ではない．この事実を初めて知ったのは高校生のときであるが驚き，そして不思議に思ったものである．

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【１】２色定理の証明

　しかし，２色定理の証明はあっけないほど簡単である．どの隣接する２面も同じ色でないように，白と黒の市松模様に塗ることができるためには，１の頂点で偶数の面が交わらなければならない（＝頂点の次数はすべて４以上の偶数）ことに気づきさえすればよい．

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【２】２色定理の応用

（問）３種類の平面充填形，正三角形（３，６），正方形（４，４），正六角形（６，３）のうち，どの隣接する２面も同じ色でないように，黒と白の市松模様に塗ることができるのはどれか？

（ヒント）これが可能なためには，１つの頂点で偶数の面が交わらなければならない．すなわち，（ｐ，ｑ）においてｑは偶数．

（問）カゴメ格子は黒と白の市松模様に塗ることができるか？

　球面，トーラスなどの一般の曲面に対しても，２色塗り分け可能であれば，頂点の次数はすべて４以上の偶数である．

（問）５種類あるプラトン立体のうち，どの隣接する２面も同じ色でないように，黒と白で塗ることができるのはどれか？

（答）正八面体

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