【５】雑感

　ところで，「算術平均の幾何平均」も「幾何平均の算術平均」もどちらもストレートに直感に訴える意味を持ち合わせていないように思える．一体どのような数学的意味を持っているのだろう．

１組の数（ａ，ｂ）に対して算術および幾何平均を考えて，

　　ａ←（ａ＋ｂ）／２

　　ｂ←√ａｂ

と繰り返す算法を算術幾何平均法と呼ぶ．この極限Ｍ（ａ，ｂ）は楕円積分

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}）

により表すことができる（ガウス）．

　すなわち，「算術平均の幾何平均」と「幾何平均の算術平均」の大小比較は算術幾何平均（楕円積分）と関係しているのである．

［参］東京理科大学数学教育研究所編「数学トレッキングツアー」教育出版

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