【４】ヘルダーの不等式

　ヘルダーの不等式とは，コーシー・シュワルツの不等式

「２乗可積分な関数ｆ，ｇに対して，以下の不等式が成立する．

　　（∫ｆ2∫ｇ2）^(1/2)≧∫ｆｇ」

の拡張と考えることができる．

（証明）

　　∫（ｔｆ−ｇ）^2ｄｘ＝ｔ^2∫ｆ2−２ｔ∫ｆｇ＋∫ｇ2≧０

　したがって，ｔを変数とする２次式の判別式

　　Ｄ＝（∫ｆｇ）^2−（∫ｆ2∫ｇ2）≦０

　等号はｇ＝ｃｆ　　　（ｃ：定数）のとき

　コーシー・シュワルツの不等式の離散版が

　　（Σａi^2）^(1/2)（Σｂi^2）^(1/2)≧Σａiｂi

であって，それに対して，ヘルダーの不等式は

［１］ｐ，ｑ＞１，１／ｐ＋１／ｑ＝１のとき，以下の不等式が成立する．

　　（Σａi^p）^(1/p)（Σｂi^q）^(1/q)≧Σａiｂi

［２］ｐ，ｑ，ｒ＞１，１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＝１のとき，以下の不等式が成立する．

　　（Σａi^p）^(1/p)（Σｂi^q）^(1/q)（Σｃi^r）^(1/r)≧Σａiｂiｃi

というものである．

　ｐ＝ｑ＝ｒ＝３，ｎ＝３のとき，［２］は

　　（ａ1^3＋ａ2^3＋ａ3^3）^(1/3)（ｂ1^3＋ｂ2^3＋ｂ3^3）^(1/3)（ｃ1^3＋ｃ2^3＋ｃ3^3）^(1/3)≧ａ1ｂ1ｃ1＋ａ2ｂ2ｃ2＋ａ3ｂ3ｃ3

と書ける．これで準備が済んだので，早速

　　算術平均の幾何平均≧幾何平均の算術平均

の証明にとりかかろう．

（証明）

　　ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

　＝ａ^2/3ｂ^2/3（ａｂ）^1/3＋ｂ^2/3ｃ^2/3（ｂｃ）^1/3＋ｃ^2/3ａ^2/3（ｃａ）^1/3

　ここで，ヘルダーの不等式を使って

　　ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

　≦（ａ^2＋ｂ^2＋ａｂ）^1/3（ｂ^2＋ｃ^2＋ｂｃ）^1/3（ｃ^2＋ａ^2＋ｃａ）^1/3

算術平均・幾何平均不等式（ｎ＝２）を使って

　≦（ａ^2＋ｂ^2＋（ａ^2＋ｂ^2）／２）^1/3（ｂ^2＋ｃ^2＋（ｂ^2＋ｃ^2）／２）^1/3（ｃ^2＋ａ^2＋（ｃ^2＋ａ^2）／２）^1/3

　＝３／２・｛（ａ^2＋ｂ^2）（ｂ^2＋ｃ^2）（ｃ^2＋ａ^2）｝^1/3

　これでやっと「算術平均の幾何平均は，幾何平均の算術平均よりも大きい」ことが証明されたことになる．算術平均≧幾何平均であるが，左辺の幾何平均，右辺の算術平均を比べても，まだ前者の方が大きいのである．

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　算術平均≧幾何平均の不等式は

　　（Σａi）／（ｎ−１）≧Πａi^(1/(n-1))

であるから，算術平均の幾何平均≧幾何平均の算術平均の不等式をさらに高次元化すると

　　｛Π（Σａi）／（ｎ−１）｝^(1/n)≧｛Σ（Πａi^(1/(n-1))）｝／ｎ

が成り立つ．

　ｎ＝４への拡張版を具体的に書くと

　　｛（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）／３・（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2）／３・（ａ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）／３・（ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）／３｝^(1/4)

　≧（ａｂｃ＋ａｂｄ＋ａｃｄ＋ｂｃｄ）／４

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