ムーアヘッド平均は算術平均と幾何平均の一般化になっていた．たとえば，算術平均・幾何平均の不等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）／２≧ａｂ

の左辺も右辺も

　　（ａ^xｂ^y＋ａ^yｂ^x）／２

の特別な場合になっていることに気づかれたであろう．

　ｘ≧ｙ≧０として（ｘ，ｙ）を指標と呼ぶことにするが，左辺は指標（ｘ，ｙ）＝（２，０），右辺は指標（ｘ，ｙ）＝（１，１）である．また，いずれにおいてもｘ＋ｙ＝２という条件が満たされている．

　不等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）／２≧ａｂ

を

　　Ｍ（２，０）≧Ｍ（１，１）

と書くことにするが，Ｍ（ｘ，ｙ）をムーアヘッド平均と呼ぶことにする．ムーアヘッド平均は算術平均と幾何平均の一般化である．

　ベキ平均を

　　Ｍr＝（（ａ^r＋ｂ^r）／２）^(1/r)

と定義すると，

　　Ｍ1＝（ａ＋ｂ）／２　→　算術平均Ａ

　　Ｍ-1＝２／（１／ｘ＋１／ｙ）＝２ｘｙ／（ｘ＋ｙ）　→　調和平均Ｈ

　　Ｍ2＝（（ａ^2＋ｂ^2）／２）^(1/2)　→　ユークリッド平均Ｅ

となる．

　ベキ平均では（ａｂ）^(1/2)　→　幾何平均Ｇを定義できないという不便さがあるが，これも平均の重要な一般化である（Ｈ＜Ｇ＜Ａ＜Ｅ）．今回のコラムでは，平均の応用として算術幾何平均を取り扱うことにする．

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