【２】ムーアヘッド平均（算術平均と幾何平均の一般化）

　たとえば，算術平均・幾何平均の不等式

　　（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）／３≧ａｂｃ

の左辺も右辺も

　　（ａ^xｂ^yｃ^z＋ａ^xｂ^zｃ^y＋ａ^yｂ^zｃ^x＋ａ^yｂ^xｃ^z＋ａ^zｂ^xｃ^y＋ａ^zｂ^yｃ^x）／６

の特別な場合になっていることに気づかされるであろう．

　ｘ≧ｙ≧ｚ≧０として（ｘ，ｙ，ｚ）を指標と呼ぶことにするが，左辺は指標（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，０，０），右辺は指標（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１）である．また，いずれにおいてもｘ＋ｙ＋ｚ＝３という条件が満たされている．

　不等式

　　（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）／３≧ａｂｃ

を

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（１，１，１）

と書くことにするが，Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）をムーアヘッド平均と呼ぶことにする．ムーアヘッド平均は算術平均と幾何平均の一般化である．

　次に

　　Ｍ（２，１，０）＝（ａ^2ｂ＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2）／６

について考えてみるが，実は

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（２，１，０）≧Ｍ（１，１，１）

が成立する．そして，このことから

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（１，１，１）

よりも

　　Ｍ（３，０，０）≧Ｍ（２，１，０），

　　Ｍ（２，１，０）≧Ｍ（１，１，１）

の方が本質的な性質であることがわかる．

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　さらに

　　Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）≧Ｍ（ｕ，ｖ，ｗ）

が成り立つための必要十分条件は，指標

　　（ｘ，ｙ，ｚ）＞（ｕ，ｖ，ｗ）

が成り立つことである（ム−アヘッドの定理）．

　指標（ｘ，ｙ，ｚ）＞（ｕ，ｖ，ｗ）の意味については次節で説明することにするが，ムーアヘッド平均に関する不等式は，算術平均・幾何平均の不等式の一般化であり，対応する指標に関する不等式に帰着されるのである．（ム−アヘッドの定理の条件の必要性の証明はわかるが，十分性の証明は込み入っている）．

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