【２】一般化

　　ｘn＝ｆ（ｘn-1，ｙn-1）

　　ｙn＝ｇ（ｘn-1，ｙn-1）

を繰り返すとき，数列ｘn，ｙnが同じ極限Ｍ（ｘ，ｙ）に収束し，極限関数Ｍ（ｘ，ｙ）が具体的に定められるのはどのような場合でしょうか？

［１］収束性

　答えを先にいうと，ｆ，ｇが比較可能な平均という性質をもつとき，同じ値に収束することが証明されます．

(1)平均の定義

　　ｘ＜ｙならば，ｘ＜ｆ（ｘ，ｙ）＜ｙ

　　λ＞０ならば，ｆ（λｘ，λｙ）＝λｆ（ｘ，ｙ）

(2)比較可能関数の定義

　　２つの関数の間に不等式ｆ（ｘ，ｙ）≦ｇ（ｘ，ｙ）が成り立つ．

この意味でＨ，Ｇ，Ａ，Ｅは平均の条件を満たし，不等式Ｈ＜Ｇ＜Ａ＜Ｅが成り立ちます．

［２］極限関数

　極限関数Ｍ（ｘ，ｙ）は初期値（ｘ0，ｙ0）の如何に関わらず，

　　Ｍ（ｘ，ｙ）＝Ｍ（ｘ0，ｙ0）

したがって

　　Ｍ（ｘ，ｙ）＝Ｍ（ｆ（ｘ，ｙ），ｇ（ｘ，ｙ））

を満たします（不変性）．

（例１）ｆ＝２ｘｙ／（ｘ＋ｙ）＝Ｈ，ｆ＝（ｘ＋ｙ）／２＝Ａ

とおくと，ｘ0ｙ0＝ｘ1ｙ2＝・・・という不変性を示す．この極限関数は

　　Ｍ（ｘ，ｙ）＝（ｘｙ）^(1/2)＝Ｇ

に急速に収束する．→算術調和平均

（例２）ｆ＝Ｇ，ｇ＝Ａならば極限Ｍ（ａ，ｂ）は楕円積分

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}）

により表すことができる（ガウス）．→算術幾何平均

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