辺の長さが２の正方形に，その頂点を中心とする４つの単位円板を置くと，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円の半径は√２−１だとわかります．これと同じことを３次元空間で行ってみましょう．辺の長さが２の立方体の８つのカドに単位球を８個置くと，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができ，第９の球の半径は√３−１となります．ｎ次元では半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．それでは・・・

【問】辺の長さが２の正三角形に，その頂点を中心とする３つの単位円板を置くと，中にできる隙間には半径２√２／３−１の円を入れることができる．さて，辺の長さが２の正四面体に単位球を４個置くと，その隙間に入れることのできる球の半径は？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

次元を一つ上げて、辺の長さが√2の正四面体

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

を考える.

重心(1/4,1/4,1/4,1/4)から頂点までの距離^2は

(3/4)^2+3(1/4)^2=3/4

辺の長さ2の正四面体の重心から頂点までの距離は√6/2

したがって、

（答）半径√６／２−１の球を入れることができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【問】ｎ次元単体では半径

　　　√｛２／（１＋１／ｎ）｝−１

のｎ次元超球が詰められることを示せ． 同様に

重心(1/(n+1),・・・,1/(n+1))から頂点までの距離^2は

(n/(n+1))^2+n(1/(n+1))^2=n(n+1)/(n+1)^2=n/(n+1)

辺の長さ2の正単体の重心から頂点までの距離は{2n/(n+1)}^1/2

したがって、

　　√｛２／（１＋１／ｎ）｝−１の球を入れることができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｎ→∞の極限でｒ＝√２−１になります

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝