Ｓ＝∫ｘｄｙ＝−∫ｙｄｘ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

　Ｓ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

の形にした方が対称性が保たれて計算しやすい．

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　サイクロイド

　　ｘ＝θ−ｓｉｎθ

　　ｙ＝１−ｃｏｓθ

の弧とｘ軸で囲まれる図形の面積は，

　　ｄｘ＝（１−ｃｏｓθ）ｄθ

　　ｄｙ＝ｓｉｎθｄθ

　ｘｄｙ−ｙｄｘ＝（θ−ｓｉｎθ）ｓｉｎθｄθ−（１−ｃｏｓθ）^2ｄθ

＝（−２＋２θｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ）ｄθ

　Ｓ＝−１／２・∫(0,2π)（ｘｄｙ−ｙｄｘ）＝３π

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